Capita spesso che per il calcolo di un integrale (definito) si debba operare un cambiamento di variabile; si necessita dunque di capire come effettuare questa delicata operazione.
Supponiamo di avere una funzione f : [a,b] → R continua (dunque integrabile); ci proponiamo di calcolare il valore
∫[a,b] f(x)dx.
In molti casi può essere molto utile operare un cambiamento di variabile, ovvero porre x=φ(t), dove φ è una certa funzione continua su un certo intervallo [c,d], e derivabile in (c,d). Supponiamo anche che si abbia la condizione di compatibilità (naturale da chiedersi)
φ([c,d]) ⊆ [a,b].
In tali condizioni si ha che
∫[φ(c),φ(d)] f(x)dx=∫[c,d] f(φ(t)) φ'(t)dt. (1)
Infatti sia F(x) una primitiva di f(x); allora la funzione F(φ(t)) è una primitiva di f(φ(t))φ'(t) in tutto [c,d]. Allora si ha, per il Teorema fondamentale del calcolo integrale,
∫[φ(c),φ(d)] f(x)dx=F(φ(d))-F(φ(c)),
∫[c,d] f(φ(t)) φ'(t)dt=F(φ(d))-F(φ(c)).
La formula di cambiamento assume una forma ancora più generale se richiediamo che la funzione φ si anche iniettiva; in tal caso infatti essa diventa:
∫[a,b] f(x)dx=∫[φ-1(a),φ-1(b)] f(φ(t)) φ'(t)dt. (2)
Mostriamo due esempi di applicazione delle formule riportate.
Esempio 1: Sia da calcolare l’integrale
∫[0,1] √(1-x2)dx.
Poniamo φ : [0,π/2] → R data da φ(t)=sen t; allora in base alla formula (1) si ha, essendo φ(0)=0 e φ(π/2)=1,
∫[0,1] √(1-x2)dx=∫[0,π/2] √(1-sen2t)cost dt=∫[0,π/2] cos2t dt=π/4,
dove l’ultimo integrale è un tipico integrale da calcolare mediante l’integrazione per parti.
Esempio 2: Sia da calcolare l’integrale
∫[0,1] [(ex) / (ex +1)] dx.
Verrebbe spontaneo utilizzare la sostituzione ex=t; poniamo quindi x=φ(t)=log t, con φ : [1,e] → R, in modo tale che si abbia ex=t. Allora φ è iniettiva e si ha φ-1(0)=1, φ-1(1)=e, per cui per la (2) si ha
∫[0,1] [(ex) / (ex +1)] dx=∫[1,e] [t / (t +1)]1/t dt
essendo φ'(t)=1/ t. Ci siamo quindi ricondotti al calcolo dell’integrale
∫[1,e] [1 / (t +1)] dt=[log (t+1)][1,e]=log [(e+1)/2].