Iniettività, suriettività e biiettività sono tre proprietà di base che può avere una funzione, e sono tutte proprietà di tipo prettamente insiemistico, ovvero non dipendono da nessuna struttura eventualmente esistente su dominio o codominio della funzione.
Iniettività: Una funzione f : A → B si dice iniettiva se f(x)=f(y) ⇒x=y. Detto in parole povere una funzione è iniettiva se ogni punto y ∈Im(f)={y ∈B : ∃x ∈A, f(x)=y} ha una sola controimmagine, ovvero per ogni y ∈Im(f) esiste ed è unico x ∈A tale che f(x)=y. La cosa si può interpretare anche graficamente: il grafico di una funzione iniettiva f : R → R ha al più una intersezione con le rette parallele all’asse delle x.
Tra le tre proprietà l’iniettività è sicuramente la più importante, poichè permette di definire la funzione inversa come funzione f-1 : Im(f) → A tale per cui f-1 (y)=x se e solo se f(x)=y.
Esempi di funzioni iniettive sono f(x)=x, f(x)=xn con n dispari, f(x)=ex, f(x)=log x, quest’ultima definita su (0,+∞).
Suriettività: E’ la proprietà meno importante; una funzione f: A → B è detta suriettiva se Im(f)=B. La scarsa importanza della definizione discende dal fatto che ogni funzione è banalmente suriettiva se uno prende come codominio l’immagine della funzione.
Ad esempio, la funzione f(x)=xn è suriettiva per ogni n dispari; la funzione f(x)=x2 non è suriettiva, ma la funzione f : R → [0,+∞) data da f(x)=x2 è suriettiva.
Biiettività: Una funzione f: A → B si dice biiettiva se è iniettiva e suriettiva. Avere delle biiezioni tra insiemi spesso permette di identificare tra loro i due insiemi A e B, specie se tali biiezioni conservano anche eventuali strutture algebriche o di altro tipo presenti sugli insiemi stessi; esempi di funzioni biiettive sono f(x)=x, f(x)=xn con n dispari.
La metodologia da utilizzare per riconoscere le proprietà suddette non è molto varia; quello che si usa quasi sempre è la definizione. La più difficile da verificare in generale è l’iniettività, che passa sempre attraverso l’iniettività delle funzioni elementari: f(x)=xn con n dispari, f(x)=ax, f(x)=log x, f(x)=√x, ecc…
Ad esempio volendo mostrare l’iniettività di f(x)=√(x3+1) si procede come segue: f(x)=f(y) ⇒ √(x3+1)=√(y3+1); per l’iniettività della radice si ha x3+1=y3+1 da cui x3=y3, per cui x=y.
Esistono altri metodi analitici che garantiscono l’iniettività, ad esempio condizioni sufficienti per l’invertibilità, metodi che fanno uso del calcolo differenziale.