Cosa sono le equazioni diofantee e come si risolvono? grazie Federico

Un’equazione diofantea (lineare) classica è un’equazione della forma ax+by=c, con a,b,c numeri interi. Lo scopo è quello di cercare soluzioni intere dell’equazione data.

Lemma: Condizione necessaria affinchè l’equazione ax+by=c abbia soluzioni intere è che MCD(a,b)|c. (con MCD denoto il massimo comun divisore mentre con | denoto il simbolo “divide”, ovvero la divisione è senza resto).

Dimostrazione: Supponiamo che ax+by=c abbia soluzioni intere; allora , posto d=MCD(a,b), si ha che d|(ax+by) per ogni x,y interi, per cui d|c.

Teorema: Sia data l’equazione diofantea ax+by=c, e sia MCD(a,b)|c; allora l’equazione data ha soluzione e tutte le soluzioni sono date da x=x₀+kβ, y=y₀-kα, dove (x₀,y₀) è una soluzione particolare, k varia in Z, mentre

α=a/ MCD(a,b) e β=b/ MCD(a,b).

Dimostrazione: Sia d=MCD(a,b); per ipotesi d|c per cui esistono x₁ e y₁interi tali che ax₁+by₁=d. Ora d|a, d|b e d|c per cui a=dα, b=dβ e c=dγ; allora a(x₁γ)+b(y₁γ)=c, per cui (x₁ γ,y₁ γ) è una soluzione particolare dell’equazione data. Poniamo quindi x₀= x₁ γ e y₀=y₁ γ. Si verifica subito che x=x₀+kβ, y=y₀-kα sono ancora soluzioni; infatti

ax+by=a(x₀+kβ)+b(y₀-kα)=ax₀+by₀+dαkβ-dβkα=c.

L’ultima cosa che resta da dimostrare è che tutte le soluzioni sono in questa forma. Sia x,y una soluzione; allora ax+by=c da cui αx+βy=γ e αx₀+βy₀=γ, da cui

α(x-x₀)=β(y₀ -y). (1)

Osserviamo che MCD(α,β)=1, per cui α|(y₀-y) e β|(x-x₀). Dunque si ha y₀-y=αk e x-x₀=hβ, con h,k interi. Sostituendo nella (1) si trova subito k=h, da cui la conclusione.

Osservazione: La teoria fornita dal Teorema precedente si applica tutte le volte che MCD(a,b)=1.

Esempio: L’equazione diofantea 2x+6y=7 non ammette soluzione, essendo MCD(2,6)=2 che non divide 7.
Esempio: L’equazione diofantea x-5y=4 ammette infinite soluzioni date dal Teorema; una soluzione particolare è x=9, y=1, per cui tutte le soluzioni saranno date da x=9-5k e y=1-k, al variare di k in Z.