Che cosa afferma precisamente il teorema fondamentale del calcolo integrale e qual è il suo legame con la definizione di primitiva di una funzione?

Il Teorema fondamentale del calcolo integrale è, a parer mio, il più bel Teorema dell’intera Matematica, dal momento che enuncia il profondissimo legame che sussiste tra due problematiche che originariamente erano tra loro slegate: da una parte la ricerca delle tangenti e della velocità, dall’altra parte la quadratura di curve piane, che hanno portato alla creazione dell’Analisi Matematica.

Il Teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che il problema della quadratura è l’inverso del problema delle tangenti.

Teorema (fondamentale del calcolo integrale): Data una funzione continua f : [a,b] → R, consideriamo la funzione integrale

F: [a,b] → R data da F(x)=∫_[a,x]f(s)ds;

Allora per ogni x ∈(a,b) si ha che F è una funzione derivabile e vale F'(x)=f(x).

Dimostrazione: Dobbiamo calcolare 1/h [F(x+h)-F(x)] e passare al limite per h →0. Supponiamo h>0 (per h<0 l’idea è la stessa); si ha

F(x+h)-F(x)=∫_[x,x+h]f(s)ds.

Per continuità si ha che per ogni ε>0 esiste h>0 tale che |f(s+t)-f(s)|<ε per ogni t con |t|<h; ma allora si ha

f(x)-ε ≤ inf_[x,x+h] f(s) ≤ 1/h [F(x+h)-F(x)] ≤ sup_[x,x+h]f(s) ≤ f(x)+ε.

Per l’arbitrarietà di ε>0 si conclude.

Osservazione: Il Teorema fondamentale del calcolo integrale ha una conseguenza importante: dal momento che le primitive di una funzione f, ovvero le funzioni F tali per cui F’=f, sono uniche a meno di costanti additive, si ha che se F denota una primitiva qualunque per f, allora

F(x)=F(a)+∫_[a,x]f(s)ds;

quindi si ha anche

F(b)-F(a)=∫_[a,x]f(s)ds

che fornisce il metodo analitico con il quale viene calcolato un integrale (definito).