Avendo capito le dimostrazioni del teorema di Cauchy e della formula di Cauchy per le funzioni olomorfe, non capisco quale sia la simmetria che ha una funzione olomorfa per poter avere l’integrale di linea sempre nullo. diagrammare le funzioni complesse, se si può usare i programmi Matlab, Mathematica o Derive. Ha Lei dei grafici?

Una funzione olomorfa è una funzione f: Ω → C derivabile in senso complesso, essendo Ω un aperto in C. La prima fondamentale cosa che discende dall’ipotesi di olomorfia di una funzione è rappresentata dalle cosidette condizioni di Cauchy-Riemann che esprimono il fatto che la 1-forma differenziale f(z)dz è una forma chiusa, da cui il Teorema di Cauchy.

Infatti se uno calcola f'(z₀) dando solo un incremento reale ottiene

f'(z₀)=∂u/∂x+i∂v/∂x

essendo f=u+iv. Invece se uno calcola f'(z₀) dando solo un incremento immaginario puro trova che

f'(z₀)=∂v/∂y-i∂u/∂y.

Confrontando i risultati ottenuti si conclude che

∂u/∂x=∂v/∂y
∂v/∂x=-∂u/∂y

che sono le condizioni di Cauchy-Riemann; f viene quindi ad essere soluzione di un sistema di equazioni alle derivate parziali in u e v, sue componenti reale ed immaginaria rispettivamente. Sia quindi γ una curva chiusa in Ω; anzitutto si ha

∫γ f(z)dz=∫γ [udx-vdy]+ i∫γ [udy+vdx].

Per le formule di Green si ha

∫γ [udx-vdy]=∫∫Ω [∂v/∂x+∂u/∂y]dxdy=0.

Analogamente si ha

∫γ [udy+vdx]=∫∫Ω [∂u/∂x-∂v/∂y]dxdy=0.

Dunque la proprietà di simmetria chiesta che dà l’olomorfia e che rende vero il Teorema di Cauchy è riassunta nelle condizioni di Cauchy-Riemann.

Quanto al diagramma delle funzioni date non è possibile avere un grafico “visibile o reale” per funzioni così fatte: infatti sia il dominio che il codominio sono in C, che “realmente parlando” hanno dimensione 2 entrambi, e quindi il grafico di f verrebbe ad essere un sottoinsieme di uno spazio 4-dimensionale.

Una valida alternativa potrebbe essere quella di vedere una funzione olomorfa come campo vettoriale in R². Dunque l’unico modo per graficare la situazione è vedere un campo nel piano, per esempio come campo conservativo, che garantisce la chiusura della forma f(z)dz, ovvero l’olomorfia di f. Con vari programmi informatici è possibile disegnare campi vettoriali piani; il disegno di un campo conservativo porta ad una visualizzazione dell’olomorfia della funzione associata al campo stesso.