Una funzione f : (a,b) → R si dice uniformemente continua se per ogni ε>0 esiste δ>0 tale per cui per ogni x,y ∈(a,b) con |x-y|<δ si ha |f(x)-f(y)|<ε.
E’ immediato verificare che se f è uniformemente continua, allora è anche continua. La vera cosa che distingue le due definizioni, come anche l’autore della domanda ha compreso, sta nel fatto che nella definizione di uniforme continuità c’è, per l’appunto, una richiesta di uniformità di δ rispetto ai punti x,y, cosa che in generale non è vera. Ad esempio se consideriamo una funzione che si impenna troppo allora il parametro δ della definizione di continuità non può essere indifferente rispetto a x e y; infatti se il grafico è troppo ripido quello che uno si aspetta è che δ sia molto piccolo più x e y sono vicini, e che quindi sia una funzione vera e propria di x e y. Ad esempio la funzione f(x)=1/x non è uniformemente continua in (0,1). Lo è invece in (1,+∞); infatti una condizione sufficiente per l’uniforme continuità è la lipschitzianità.
Per una funzione derivabile, la lipschitzianità equivale alla limitatezza della derivata prima; e dunque una funzione lipschitziana (derivata prima limitata ⇒ grafico non troppo impennato) è uniformemente continua.
Esiste infine un importante Teorema, molto utile nelle applicazioni, che afferma quanto segue: