La geometria sferica è un modello particolare di geometria non euclidea, in particolare di geometria ellittica, anche se tale identificazione non sempre viene riportata dai testi.
L’introduzione delle geometrie non euclidee avviene solamente nei primi anni del 1800 ad opera quasi inconsapevole ed indipendente dei matematici Bolyai e Lobachevsky; lo studio fu proseguito poi da Riemann, Beltrami, Poincaré e tanti altri. Fino a questa importante scoperta i matematici avevano cercato, invano, di dimostrare il celeberrimo V postulato di Euclide basandosi solo ed esclusivamente sui primi quattro postulati. Tale postulato afferma che: dati un punto P ed una retta r non passante per P esiste ed è unica la retta s passante per P e parallela ad r. Solo nel 1800 si è capito che il V postulato di Euclide è a tutti gli effetti un assioma, ovvero può essere negato, e dalla sua negazione si possono costruire altre geometrie coerenti nelle quali il postulato non è più vero, cioè le geometrie non euclidee. In particolare uno può negare in due modi il V postulato di Euclide: dati un punto P ed una retta r non passante per P uno può richiedere che per P passino infinite rette parallele ad r (geometria iperbolica) oppure che per P non passi nessuna retta parallela ad r (geometria ellittica). Il modello più comune di geometria ellittica lo sperimentiamo, approssimativamente, tutti i giorni, ed è la geometria della superficie sferica.
Nella geometria ellittica punti e rette vengono definiti come segue:
– un punto P è una coppia di punti antipodali (come polo nord e polo sud);
– una retta r è una circonferenza massima della sfera (ovvero un meridiano).
In base a tale definizione il quinto postulato di Euclide viene a cadere: infatti presa una retta r ed un punto P non su di essa, allora per P non passa nessuna retta parallela a r, poichè tutti i cerchi massimi si incontrano tra loro in punti antipodali: in geometria ellittica due rette si incontrano sempre in uno ed un solo punto. Per altro il piano ellittico, topologicamente, coincide con il piano proiettivo, costruito ampliando il piano affine, richiedendo proprio che non esista più il concetto di parallelismo.
La geometria sferica, secondo alcuni autori, differisce da quella ellittica a causa del fatto che in geometria sferica non si identificano tra loro i punti antipodali; se non si opera questa identificazione però non è più vero che per due punti distinti passa una ed una sola retta, dal momento che per due punti antipodali passano infiniti cerchi massimi. Noi preferiamo identificare invece la geometria della sfera con quella ellittica.
La geometria ellittica può essere proficuamente studiata anche dal punto di vista della geometria differenziale ovvero sfruttando un po’ di Analisi Matematica. In tale contesto la geometria ellittica è lo studio degli spazi a curvatura positiva dove la curvatura, fondamentale concetto intrinseco introdotto da Gauss, misura quanto una superficie è curva localmente, ovvero nelle vicinanze di un punto fissato. Un piano euclideo ad esempio ha curvatura (di Gauss) identicamente zero in ogni punto, mentre il piano iperbolico ha curvatura negativa in ogni punto. Il fatto che il piano ellittico (la superficie sferica) sia una superficie a curvatura positiva ha importanti conseguenze: ad esempio lo studio dei triangoli geodetici, ovvero i triangoli tracciati sul piano ellittico che hanno come lati segmenti di retta (nel modello della superficie sferica hanno come lati archi di cerchio massimo). In tali triangoli la somma degli angoli interni è sempre strettamente maggiore di 180°, contrariamente a quanto accade nel piano euclideo.
Molte altre proprietà tipicamente euclidee vengono a cadere se consideriamo il piano ellittico. Per maggiori dettagli si veda:
1) Agazzi e Palladino, Le Geometrie non Euclidee e i fondamenti della geometria, Edizioni Scientifiche e Tecniche Mondadori.
2) Trudeau, La rivoluzione non euclidea, Bollati Boringhieri.