La dimostrazione originale che si può trovare su ogni testo di Geometria per la scuola media superiore richiede parecchi strumenti; ci limiteremo a fornire i passi essenziali e lasceremo i dettagli al lettore. Forniremo invece anche una dimostrazione completa che fa uso di una matematica più sofisticata.
Dimostrazione geometrica. Per definire la lunghezza di una circonferenza di raggio R fissato occorre considerare i poligoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza data. Infatti la lunghezza della circonferenza viene vista come limite dei perimetri dei poligoni regolari inscritti o circoscritti. Più precisamente si osserva che:
1) il perimetro di un generico poligono regolare inscritto nella circonferenza data è sempre minore del perimetro di un generico poligono regolare circoscritto alla circonferenza data;
2) per ogni numero reale positivo ε esiste una suddivisione della circonferenza in n parti uguali tale per cui se pi e pc indicano, rispettivamente, i perimetri dei poligoni regolari di n lati inscritti e circoscritti alla circonferenza, allora si ha
pc – p i < ε.
Dalle condizioni 1) e 2) si deduce che è ben definito un unico numero reale positivo c, che dipende da R, che è maggiore di tutti i perimetri pi dei poligoni inscritti e minore di tutti i perimetri pc poligoni circoscritti. Tale numero reale c, per definizione, è la lunghezza della circonferenza data di raggio R.
Andiamo ora a verificare che il rapporto tra c e il diametro 2R è una costante. A tale scopo consideriamo due circonferenze C e C’ di raggi R ed R’ e dimostriamo allora che c’ : c = R’ : R. Consideriamo i due poligoni regolari di n lati inscritti in C e C’, e siano pi e pi‘ rispettivamente i loro perimetri. I due poligoni risultano ovviamente simili (basta cosiderare C e C’ concentriche), da cui si ha
pi‘ : pi = R’ : R.
Una proporzione di similitudine analoga si ha anche per i perimetri dei due poligoni circoscritti di n lati: risulta
pc‘ : pc = R’ : R.
Dal momento che pi < c < pc si ha anche pi R’ : R < c R’ : R < pc R’ : R, ovvero pi‘ < c R’ : R < pc‘. Ma si ha anche pi‘ < c’ < pc‘. Tali disuguaglianze valgono per ogni poligono inscritto e circoscritto. Dal momento che l’elemento separatore che definisce la lunghezza della circonferenza è unico deve essere necessariamente
c R’ : R = c’
da cui finalmente c’ : c = R’ : R.
Conseguenza immediata di tutto ciò è che il rapporto tra c e 2R è una costante che non dipende dalla circonferenza considerata; tale costante si denota con π e vale circa 3.14. Il valore 3.14 è un valore approssimato; si dimostra che il numero reale π è un numero irrazionale anzitutto e trascendente poi, ovvero non è soluzione di nessuna equazione algebrica a coefficienti interi (Lindemann, 1882).
Dimostrazione analitica. Sia data la funzione f : [0,R] → R definita da f(x)=√(R2 – x2). Allora il grafico di f rappresenta un quarto di circonferenza. Dal momento che la funzione f è di classe C1(0,R) la lunghezza del suo grafico si trova mediante la nota formula
L=∫[0,R]√(1 + |Df(x)|2) dx.
Essendo Df = -x / √(R2 – x2) si ha √(1 + |Df(x)|2) = R / √(R2 – x2). Ponendo x=Rt si ha
L= R ∫[0,1]1 / √(1 – t2) dt.
La lunghezza della circonferenza di raggio R sarà dunque data da
c = 4R ∫[0,1]1 / √(1 – t2) dt
e dunque è multipla del raggio R, mediante un certo fattore numerico, il che prova anche in modo analitico quanto già dimostrato in modo geometrico.