La risposta secca alla domanda è no, almeno per come è formulata. Non esiste una formula esplicita in termini di funzioni elementari che fornisca il raggio di una circonferenza noti la lunghezza di una corda e la lunghezza dell’arco sotteso. Andiamo infatti a risolvere tale problema considerando la seguente figura.
Sia 0 < a = AB e sia l la lunghezza dell’arco AB. Supponiamo per semplicità di essere nel caso in cui l’angolo sotteso 2α sia minore di un angolo piatto, come in figura. In tali condizioni per semplice trigonometria si ha a = 2 R sen α da cui si trova
a / 2R = sen α.
Dobbiamo ora esprimere l’angolo α in funzione della lughezza l dell’arco AB: per definizione la misura di 2α in radianti è data da l / R per cui si ha α = l / 2R. Ne segue che la formula che fornisce il raggio R desiderato è data da
a / 2R = sen (l / 2R). (1)
L’equazione scritta nell’incognita R è un’equazione trascendente, ovvero non può essere risolta in modo elementare per mezzo di funzioni altrettanto elementari. L’equazione (1) può anche essere riscritta come segue:
(a / l)(l / 2R) = sen (l / 2R);
ponendo x = l / 2R e β = a / l si ha l’equazione
β x = sen x, con 0 < β < 1. (2)
Osserviamo inoltre che dal momento che stiamo supponendo 0 < 2α < π allora si ha 0 < α < π/2 per cui vanno cercate soluzioni x di (2) tali per cui 0 < x < π/2. Graficamente la soluzione non banale (c’è sempre quella banale x = 0) si trova numericamente come intersezione osservando la seguente figura.
.jpg)
Trovata la soluzione non banale x0 tra 0 e π/2 finalmente per risalire al raggio R basterà fare R = l / 2x0.