L’analisi non standard ha origine nel 1961, anno in cui il matematico americano A. Robinson trova un modo per rendere rigoroso il calcolo differenziale procedendo "alla Leibniz", e ignorando sostanzialmente la moderna teoria dei limiti. L’idea fondamentale del lavoro di Robinson, e successivamente del matematico americano H. Keisler, sta nell’introduzione del sistema di numeri iperreali, numeri che generalizzano l’insieme dei numeri reali. Tra i numeri iperreali infatti troviamo, oltre ai classici numeri reali, anche gli infinitesimi, ovvero quelle quantità numeriche minori, in valore assoluto, di ogni numero reale positivo ma non nulle. Utilizzando tale definizione si riesce a superare la definizione di limite e a definire in modo rigoroso, per esempio, la derivata. La proprietà fondamentale che viene a cadere passando dal sistema dei numeri reali al sistema dei numeri iperreali è la proprietà di Archimede1.
Con i metodi dell’analisi non standard si può potenzialmente ricostruire l’intera analisi matematica senza l’uso del concetto di limite, benchè anche in analisi non standard si possa definire ancora il limite. Vari matematici a partire dai lavori di Robinson e Keisler hanno applicato con successo l’analisi non standard anche a contesti meno elementari, come la teoria degli operatori e l’analisi funzionale. Il principale vantaggio dell’analisi non standard rispetto a quella standard sta nel fatto che l’analisi non standard appare molto più intuitiva nelle sue fondamenta; infatti il concetto di limite secondo la definizione di Weierstrass, che è ancora quella che si studia oggi nei corsi di analisi, è di difficile acquisizione. D’altro canto però in analisi non standard si postula l’esistenza di quantità del tutto "fittizie" messe al solo scopo di giustificare delle operazioni dal significato oscuro. Si badi bene che ciò non ha alcuna importanza in matematica: non esistono enti matematici più concreti di altri, però l’approccio standard rispetto a quello non standard ha l’indubbio vantaggio di essere costruito solamente sui numeri reali, quantità numeriche che sono molto più vicine alla nostra intuizione dei numeri distribuiti su una retta orientata. Sta di fatto che oggi la maggior parte degli analisti è costituita da analisti standard.
Dal mio punto di vista personale posso dire che il concetto di limite non è di facile acquisizione, ma è il vero perno su cui l’intera analisi matematica standard viene costruita, e rappresenta un aspetto concettuale più che computazionale, come invece vuol fare l’analisi non standard. L’idea di limite infatti sta anche nei matematici greci, ma la sua formalizzazione è solo del tardo ottocento, a partire dalla scuola di Cauchy.
Non è escluso che un giorno l’analisi non standard prenderà il posto di quella standard; per adesso la scuola di pensiero che va per la maggiore è quella che vuole l’analisi standard classica.
BIBLIOGRAFIA
[1] Davis, M., Hersh, R., L’Analisi Non-Standard, Le Scienze quaderni, 60, 1991, pp.
52-59 (numero speciale a cura di C. Mangione).
[2] Hurd, A. E., Loeb, P. A., An introduction to Nonstandard Real Analysis, Academic
Press, Orlando, 1985.
[3] Keisler, H. J., Elementary Calculus, Prindle, Weber and Schmidt, Boston, 1976 (tr.
it. di R. Ferro, G. Sambin, L. Colussi, A. Facchini, A. Le Donne, Elementi di Analisi
Matematica, Piccin Editore, Padova, 1982).
[4] Keisler, H. J., Foundations of Infinitesimal Calculus, Prindle, Weber and Schmidt,
Boston, 1976.
[5] Robinson, A., Non-Standard Analysis, North-Holland, Amsterdam, 1966.
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1La proprietà di Archimede dice che per ogni numero reale x esiste un naturale n tale che x sia maggiore del reciproco di n.