Parlare di un teorema di gerarchia degli infiniti per il calcolo dei limiti è sempre un po’ pericoloso, perchè potrebbe essere preso come regola generale, cosa che ovviamente non può essere. L’idea che sta alla base dei confronti tra infinitesimi (o infiniti) sta nello sviluppo di Taylor di una funzione regolare. In base a tale importantissima formula si ha che una funzione regolare f : (a,b) → R può essere sviluppata attorno ad un punto x0∈(a,b) come
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2!f”(x0)(x-x0)2+…+1/k!f(k)(x0)(x-x0)k+o((x-x0)k)
dove o((x-x0)k) è un resto di ordine superiore a (x-x0)k, ovvero o((x-x0)k)/(x-x0)k tende a 0 per x → x0. In base a questa formula si possono fare considerazioni proprio relativa alla gerarchia tra gli infinitesimi. Supponiamo ad esempio di voler calcolare il limite per x → 0 di (sin x)/x (esempio didattico che serve solo per afferrare il concetto). Allora grazie alla formula citata si ha sin x=sin 0+cos 0 x+o(x); quindi
(sin x)/x=(x+o(x))/x=1+o(x)/x
che tende a 1 per x → 0. Dunque si può affermare che l’infinitesimo sin x ha lo stesso ordine dell’infinitesimo x per x → 0. Così come l’infinitesimo x2 ha ordine superiore rispetto all’infinitesimo x, o ha lo stesso ordine dell’infinitesimo 2x2, o -3x2. Invece, ad esempio, l’infinitesimo x3 ha ordine inferiore rispetto all’infinitesimo x4, poichè risulta x3/x4→ +∞ per x → 0.
Stabilire una gerarchia tra gli infinitesimi (o gli infiniti) in un contesto generale appare quindi un po’ problematico, anche perchè ci sono funzioni che non sono naturalmente confrontabili con potenze campione (ad esempio la funzione logaritmo). Di conseguenza il consiglio è quello di operare sempre applicando, nel caso dia una risposta positiva, la formula di Taylor col resto opportunamente espresso (resto di Peano), senza invocare gerarchie automatiche pericolosamente poco generali.
Nell’esempio riportato infine si chiede se si può computare il limite della quantità ln(|2x+1|-2)/(x-4) per x → +∞, senza applicare il teorema di de l’Hopital, ma ragionando su una gerarchia di infiniti o infinitesimi. Osserviamo subito che per x → +∞ la quantità su cui passare al limite è data da ln(2x-1)/(x-4). Si ha poi che l’infinito ln(2x-1) ha lo stesso ordine dell’infinito lnx, infatti ln(2x-1)/ln(x) → 1 per x → +∞. Per vedere questo però è necessaria (o almeno il modo più semplice) l’applicazione del teorema di de l’Hopital, nel qual caso infatti ci si riconduce al limite di x/(2x-1) che vale 1/2. La quantità x-4 è ovviamente un infinito dello stesso ordine di x e quindi la quantità su cui passare al limite si riduce a ln(x)/x, che ha limite 0 grazie a limiti notevoli relativi alla funzione logaritmo. Dunque come risposta all’ultima domanda, il limite dato deriva parzialmente da un confronto di infiniti, ma supportato e reso preciso dall’applicazione (per esempio) della regola di de l’Hopital.