Immagino che la risposta a cui la domanda fa riferimento sia la seguente:
www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num3204
In tale risposta viene dimostrato che la serie armonica 1+1/2+1/3+1/4+… diverge positivamente, nonostante il termine generale sia infinitesimo. Dunque il lettore confonde la serie armonica, che non converge, con un altro tipo di serie, che converge, e che è la serie geometrica, la quale appunto si ritrova nella spiegazione matematica del paradosso di Achille e la Tartaruga.
Il fatto che il termine generale xn di una serie numerica
∑nxn=x0+x1+x2+…
tenda a 0 è condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie stessa; il fatto che non sia sufficiente discende, per esempio, dalla risposta sopra linkata. Il fatto che sia condizione necessaria per la convergenza discende dalla definizione di convergenza che si adotta per una serie numerica: si dice che la serie numerica
∑nxn (1)
converge se esiste ed è finito
limk →+∞ ∑n=0,…,kxn = limk →+∞(x0+x1+x2+…xk).
Alla luce della moderna teoria dei limiti questa definizione di convergenza di una serie numerica è la definizione più ”naturale” che uno possa dare. Poniamo
Sk=∑n=0,…,kxn.
Allora la serie numerica (1) converge se e solo se la successione Sk ammette limite finito; ne segue che se la serie (1) converge allora
xk = Sk+1-Sk → 0
che rappresenta appunto la condizione necessaria (ma non sufficiente) illustrata. In parole povere per la convergenza di una serie è necessario che il termine generale vada a 0 ma ci deve andare con una ”velocità” sufficientemente elevata; se ci va ”troppo piano” la serie potrebbe anche non convergere, come è il caso della serie armonica.
Per quanto riguarda l’esempio tipico di serie convergente, ci basta citare, proprio per legare quanto detto al Paradosso di Zenone, la serie geometrica che ha come termine generale xn=qn. La serie
∑nqn
converge se e solo se |q|<1; in tal caso inoltre è noto che (si ricordi che n parte da 0)
∑nqn=1/(1-q).
Achille e la Tartaruga. Il celebre paradosso di Zenone può essere agevolmente svuotato di ogni contraddizione applicando la teoria delle serie numeriche. Achille, denotato con A, e la Tartaruga, denotata con T, sono entrambi allo stesso punto di partenza; T parte con velocità costante vT e percorre una distanza rettilinea d, mentre A resta fermo. Quando T è arrivata a percorrere la distanza d, A parte, nella stessa direzione di T, con velocità costante vA>vT. Sembrerebbe una situazione non paradossale, ma Zenone fece questo ragionamento: quando A avrà percorso la distanza d, T si troverà davanti a lui e avrà percorso una distanza totale d+d’, e quando A avrà percorso tale distanza T si troverà ancora davanti a A avendo percorso d+d’+d”, e così via. Ne segue che A non raggiungerà mai T, ne concludeva il filosofo.
La conclusione di Zenone si basa sul fatto, all’epoca accettato, che una qualunque somma di infiniti addendi avesse sempre come risultato l’infinito. Nel caso in oggetto invece si viene a creare una serie geometrica che consente di ripristinare il significato fisico del problema e la sua ovvia soluzione: A raggiunge T in un tempo finito. Vediamo come.
A percorre d in un tempo pari a d/vA; in tale tempo T ha percorso d/vAvT. Successivamente A percorre d/vAvT in un tempo pari a d/v2AvT, e quindi T in tale tempo ha percorso d/v2Av2T. Iterando il ragionamento si ha che T percorre la distanza totale pari a
∑nd(vT/vA)n.
Essendo vT<vA tale serie è una serie geometrica convergente a d/(1-vT/vA) = d(vA-vT)/vA. Questa è la distanza totale percorsa da T prima di essere raggiunta da A. Viaggiando A a velocità costante vA segue che A raggiunge T in un tempo pari a
d(vA-vT)/v2A. (2)
A riprova del risultato sommiamo i tempi che A impiega a raggiungere man mano le posizioni di T, verificando che la somma di tali tempi fornisce (2). Infatti per quanto costruito tale somma è data da
∑nd/vA(vT/vA)n = d/vA 1/(1-vT/vA) = d(vA-vT)/v2A.