Salve, cosa rappresentano intuitivamente la connessione lineare ed il trasporto parallelo? (I calcoli formali mi sono chiari ma mi sfugge il significato geometrico-intuitivo).

Il modo più chiaro, secondo me, per capire a fondo i concetti di base di geometria riemanniana è ragionare in coordinate locali, proprio seguendo i conti dei vecchi fondatori del calcolo tensoriale¹.

L’idea che sta alla base della connessione (affine) e del trasporto parallelo è quella, più generale, della derivazione di un campo di vettori tangenti ad una varietà riemanniana (M,g), dove con g_ij denotiamo il tensore metrico su M, tensore di tipo (2,0), simmetrico e definito positivo. Sia quindi dato un campo di vettori tangenti di componenti vⁱ (controvarianti) rispetto ad un sistema di coordinate locali. Supponiamo di assegnare una curva su M data, in coordinate, dal continuo x_i=x_i(t), per t che varia in un certo intervallo aperto (a,b). Il nostro scopo è quello di derivare il campo di vettori vⁱ lungo l’arco di curva assegnata (si pensi al caso in cui il campo vⁱ sia un campo di velocità, e quindi si vuole determinare l’accelerazione). Il problema di fondo in questa operazione è che non siamo autorizzati, nel computare la derivata del campo vⁱ, ad effettuare la differenza tra vettori tangenti componente per componente, come invece possiamo fare in Rⁿ: infatti nel caso di una varietà M generica vettori tangenti applicati in punti distinti non appartengono, in generale, allo stesso spazio tangente, e dunque non ha senso operare una differenza tra vettori tangenti semplicemente componente per componente, otterremmo come derivata del campo vⁱ un oggetto che non è più interpretabile sulla varietà M, dal momento che "uscirebbe" dallo spazio tangente. Per ovviare a questo problema dobbiamo capire quindi come "spostare" i vettori tangenti parallelamente a se stessi lungo una curva tracciata su M; per quanto visto questo spostamento in generale modificherà le componenti vⁱ.

Spostamento per parallelismo

L’idea è quella di operare prima su una superficie S immersa in R³, in modo da visualizzare meglio come si procede. Sia quindi S una superficie regolare in R³, immagine di una mappa regolare r : A →R³, con A aperto di R². Denotiamo con ∂_i la derivata parziale rispetto alla variabile x_i. Diamo come prima un campo V di vettori tangenti dato da

V = ∑_ivⁱ ∂_ir    (1)

e una curva x_i=x_i(t), per t che varia in (a,b). Allora si trova, derivando la (1) con un conto abbastanza semplice,

dV/dt = ∑_k (dv^k/dt + ∑_ijvⁱ Γ_ij^k dx_j/dt) ∂_kr + n ∑_ij vⁱ a_ij dx_j/dt    (2)

dove g_ij = <∂_ir,∂_jr> (tensore metrico indotto dal tensore euclideo standard di R³),

Γ_ij^k = 1/2 ∑_h g^hk (∂_jg_ih+∂_ig_jh-∂_hg_ij)       (simboli di Christoffel)

n è il versore normale alla superficie S e a_ij sono opportuni coefficienti che non ci interessano. La decomposizione (2) esplicita quale sia la componente di dV/dt lungo il piano tangente (generato dai vettori ∂_kr) e la componente ortogonale al piano tangente. Il campo di vettori V si sposta per parallelismo lungo la curva x_i=x_i(t) se la derivata dV/dt non ha componente tangenziale, ovvero il campo V non varia "rispetto al piano tangente": questo è il modo corretto di generalizzare l’idea di trasporto parallelo al caso di una superficie. In formule vⁱ si sposta per parallelismo lungo la curva x_i=x_i(t) se

dv^k/dt + ∑_ijvⁱ Γ_ij^k dx_j/dt=0    per k=1,2.   (3)

Osserviamo che l’equazione del parallelismo (3) può anche essere data su una varietà riemanniana generica, dal momento che sono coinvolte solo le coordinate locali x_i e il tensore metrico (nei simboli di Christoffel). Dunque la formula (3) diventa la definizione di spostamento parallelo anche su una varietà riemanniana (M,g). Svincolandosi dalla curva di trasporto la (2) può anche essere scritta nel modo più suggestivo

dv^k = -∑_ijvⁱ Γ_ij^k dx_j   (4)

la quale dice che per spostare il vettore v^k nel vettore ad esso parallelo ed infinitamente vicino, dobbiamo applicargli un incremento dv^k pari a -∑_ijvⁱ Γ_ij^k dx_j: tale incremento in generale non è nullo, quindi lo spostamento parallelo nel caso generale, come è giusto che sia per quanto abbiamo osservato all’inizio, cambia le componenti del vettore tangente. Osserviamo che nel caso di Rⁿ riferito a coordinate cartesiane ortogonali dal momento che si ha Γ_ij^k=0 ovunque ritroviamo che un vettore tangente si sposta per parallelismo se dv^k=0, ovvero se le sue componenti non variano.

Derivata covariante (connessione affine)

Finalmente siamo pronti per analizzare come derivare un campo di vettori tangenti vⁱ ad una generica varietà riemanniana (M,g) lungo una curva x_i=x_i(t), per t che varia in (a,b). Per capire la definizione faremo un ragionamento euristico. Consideriamo il vettore tangente vⁱ(t) ed il vettore vⁱ(t+dt) applicati rispettivamente nel punto p(t) e nel punto p(t+dt). Allora come detto all’inizio del discorso non possiamo operare la differenza vⁱ(t+dt)-vⁱ(t) componente per componente ma dobbiamo prima spostare il vettore vⁱ fino a portarlo, parallelamente a se stesso, applicato nel punto p(t+dt). Ne segue che la vera differenza da operare è data da

v^k(t+dt) – (v^k(t) – ∑_ijvⁱ(t) Γ_ij^k dx_j) = v^k(t+dt) – v^k(t) + ∑_ijvⁱ Γ_ij^k dx_j = ∑_j ∂_jv^kdx_j + ∑_ijvⁱ Γ_ij^k dx_j =

= ∑_j (∂_jv^k + ∑_ijvⁱ Γ_ij^k) dx_j.

La quantità ∂_jv^k + ∑_ijvⁱ Γ_ij^k è quindi un tensore di tipo (1,1), detto derivata covariante del campo vⁱ, e viene anche denotata con ∇_jv^k. Nel caso della superficie quindi la derivata covariante di un campo di vettori tangenti coincide con la proiezione ortogonale sul piano tangente della derivata totale ordinaria; nel caso invece di Rⁿ riferito a coordinate cartesiane ortogonali si ha ∇_jv^k=∂_jv^k ovvero la derivata covariante, come è giusto che sia, coincide con la derivazione ordinaria.

Osservazione. Spesso in letteratura, specie la più moderna, si attribuisce alla derivazione covariante il termine connessione affine. Questo termine è dovuto al fatto che la derivata covariante permette di caratterizzare quali curve hanno come vettore tangente un vettore che si sposta per parallelismo lungo la curva stessa; infatti in tal caso deve essere, dalla (3), 

d²x_^k/dt + ∑_ij Γ_ij^k dx_i/dt dx_j/dt=0,   k=1,2

che è l’equazione delle geodetiche, ovvero le linee che su M "equivalgono" a ciò che in Rⁿ sono le rette. Dunque lo spostamento infinitesimo parallelo (4), che è ciò che caratterizza lo "spostamento" della derivazione covariante rispetto alla derivata ordinaria, fornisce l’elemento infinitesimo (connessione) di una geodetica se il vettore che si sta spostando è il vettore tangente alla curva di trasporto. 

¹Oggi, sui testi più moderni di geometria riemanniana, si tende a presentare la teoria della derivazione covariante e conseguenze (trasporto parallelo, geodetiche, curvatura) in modo puramente algebrico e completamente intrinseco, senza alcun riferimento, nelle definizioni, alle coordinate locali. Si tratta senza dubbio del modo più corretto di presentare oggi la teoria, ma a volte a scapito di una comprensione effettiva delle idee che stanno sotto alle definizioni intrinseche.