L’esistenza di un criterio di divisibilità generale è fondata sull’idea avuta da B. Pascal (1623-1662); tale idea è fondata su un modo per il calcolo del resto di una divisione tra numeri interi. Sia infatti dato un intero positivo n e supponiamo di voler trovare il resto della divisione n:k, con k intero positivo minore di n, k diverso da 1. Allora per prima cosa sviluppiamo n in base 10:
n=nm10m+nm-110m-1+…+n110+n0, con ni ∈ {0,1,…,9}.
Scriviamo ora la sequenza di resti che si ottengono dividendo man mano le potenze di 10 per l’intero k: quindi k0 è il resto della divisione 1:k (quindi 1), k1 è il resto della divisione 10:k, k2 è il resto della divisione 102:k, e così via. Ne segue che il resto della divisione n:k sarà uguale al resto della divisione p:k, essendo
p=nmkm+nm-1km-1+…+n0k0.
Ovviamente a questo punto se il numero p è ancora troppo complesso basta ripetere la stessa procedura scrivendo lo sviluppo di p in base 10. Il numero n è divisibile per k quando il resto della divisione n:k è zero, quindi tale procedura mostra un criterio generale di divisibilità. Vediamo di ritrovare i criteri noti applicando tale procedura. Prima di far questo però facciamo un’osservazione che permette di semplificare il calcolo degli interi ki. Abbiamo già osservato che si ha sempre k0=1; per trovare k1 basta moltiplicare k0 per 10 e prenderne il resto della divisione per k, e così per trovare k2 basta moltiplicare k1 per 10 e prenderne il resto della divisione per k, e così via. Notiamo anche che questa procedura termina se si ottiene ad un certo punto resto 0 (tutti i termini successivi sono quindi 0) e termina anche nel momento in cui si ottiene un resto già ottenuto, e si ripete ovviamente periodicamente.
Esempio 1: criterio di divisibilità per 2. Applichiamo la procedura illustrata per ritrovare il criterio di divisibilità per 2. Le cifre ni rappresentano le cifre del numero dato n in base 10; andiamo a determinare gli interi ki: si ha k0=1, k1 invece rappresenta il resto della divisione 10:2, ovvero 0. Ne segue che ki=0 per ogni i>0. Dunque la procedura dice che il resto della divisione n:2 è il resto della divisione n0:2. Questo significa che n è divisibile per 2 se e solo se la sua ultima cifra è divisibile per 2, che è il noto criterio di divisibilità per 2.
Esempio 2: criterio di divisibilità per 3. Anche in tal caso siano ni le cifre che rappresentano il numero dato n in base 10. Andiamo a determinare gli interi ki: si ha k0=1, k1 invece rappresenta il resto della divisione 10:3, ovvero 1, e dunque ki=1 per ogni i. La procedura illustrata dice quindi che il resto della divisione n:3 è il resto della divisione
(nm+nm-1+…+n0):3.
Ciò significa che n è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 3, che è il noto criterio di divisibilità per 3.
Esempio 3: criterio di divisibilità per 11. Anche in questo ultimo esempio che proponiamo siano ni le cifre che rappresentano il numero dato n in base 10. Andiamo a determinare gli interi ki: si ha k0=1, k1 invece rappresenta il resto della divisione 10:11, ovvero 10; k2 rappresenta il resto della divisione 100:11, ovvero k2=1=k0. Dunque abbiamo trovato la seguente sequenza degli interi ki=1:
….1 10 1 10 1 10 1.
Osserviamo ora che tale sequenza, grazie a ben note proprietà delle congruenze, equivale, in termini di resto modulo 11, alla sequenza
….1 -1 1 -1 1 -1 1
dal momento che 10≡-1 mod 11. La procedura illustrata dice quindi che per determinare il resto della divisione n:11 bisogna sommare tutte le cifre ni di posto dispari, a tale somma sottrarre la somma di tutte le cifre ni di posto pari, e dividere tale differenza per 11; questa procedura coincide con il noto criterio di divisibilità per 11.