L’incommensurabilità è una proprietà che riguarda la misura delle grandezze di natura geometrica.
Grandezze commensurabili. Due grandezze omogenee A e B (ovvero due lunghezze, dua aree, due volumi, ecc…) si dicono commensurabili se esiste un sottomultiplo comune ad A e a B, ovvero se esistono una grandezza U e due interi p e q tali per cui A=pU e B=qU. In tal caso si scrive anche che A/B=p/q oppure che A=p/q B. Due grandezze A e B sono quindi commensurabili quando esiste un’unità di misura che entra un numero intero di volte sia in A sia in B. Osserviamo che la frazione p/q che appare nella definizione di grandezze commensurabili potrebbe essere sia riducibile sia irriducibile; questo fatto non riveste alcuna importanza in questo contesto.
Esempio. Se il segmento AB vale 5/3 di un segmento CD allora ciò significa che dividendo il segmento CD in 3 parti si ottiene il segmento U tale per cui si ha AB=5U e CD=3U. La stessa frazione 5/3 equivale a 10/6, la quale è riducibile. Ignorando questo fatto avremmo anche potuto dire che il segmento AB vale 10/6 del segmento CD, ovvero che dividendo il segmento CD in 6 parti si ottiene un segmento U’ tale per cui si ha AB=10U’ e CD=6U’. Evidentemente si ha U=2U’. L’unità di misura comune quindi in generale non è unica, ma è unica la più grande unità di misura comune, che si trova riducendo la frazione p/q ai minimi termini.
Grandezze incommensurabili. Due grandezze omogenee A e B si dicono incommensurabili se non sono commensurabili. Non esiste quindi un’unità di misura U che entra un numero intero di volte sia in A sia in B. Ne segue che rispetto a ogni unità di misura fissata il rapporto tra la misura di A e la misura di B non è un numero razionale. Il classico esempio è quello della diagonale del quadrato di lato 1, la quale vale √2. Essendo, come è noto, √2 un numero irrazionale si ha che la diagonale del quadrato e il lato del quadrato sono grandezze incommensurabili.