L’affermazione riportata nella domanda è vera ed è anche abbastanza facile da dimostrare.
Consideriamo un intero n che sia esprimibile mediante la somma dei quadrati degli interi a e b, senza perdere in generalità possiamo considerare a>b
n=a2+b2
Consideriamo quindi il suo doppio
2n=2a2+2b2
i due addendi che adesso compaiono al secondo membro non sono due quadrati perfetti perché per esserlo dovrebbe essere 2 un quadrato perfetto, ma essendo 2 un numero primo questo non è possibile. Tuttavia possiamo riscrivere questa uguaglianza nel modo seguente
2n=a2+b2+a2+b2
a questo punto è facile accorgersi che ciascuna coppia di addendi è la somma di due quadrati perfetti, per cui se riusciamo a far comparire dei doppi prodotti possiamo semplificare questa somma di quattro addendi come somma dei quadrati di due binomi. Ma questo è possibile farlo nel seguente modo
2n=a2+b2+2ab+a2+b2_2ab
i due addendi aggiunti sono uguali ma con segno opposto, quindi la loro somma fa zero e quindi non abbiamo cambiato il valore del secondo membro dell’uguaglianza. Ora, con questo trucco possiamo riarrangiare sia il primo terzetto di addendi e sia il secondo come quadrati di binomi
2n=(a+b)2+(a_b)2
dato che a e b sono interi anche la loro somma e la loro differenza sono interi, quindi abbiamo scomposto 2n nella somma di due quadrati perfetti. Questa uguaglianza ci permette di affermare immediatamente che è vero anche l’inverso: se 2n è esprimibile come somma di due quadrati perfetti allora anche n lo è. Infatti detti x e y i due numeri tali che
2n=x2+y2
basta risolvere il sistema dato dalle equazioni
a+b=x
a_b=y
che porta alle soluzioni
a=(x+y)/2
b=(x_y)/2
per avere i numeri a e b necessari ad esprimere n come somma di quadrati. C’è da notare che queste due ultime formule restituiscono a e b interi solo se x e y sono entrambi pari o entrambi dispari. Tuttavia, dato che 2n è sicuramente pari allora una coppia di addendi che da 2n come somma dovrà essere per forza composta da x2 e y2 entrambi pari o entrambi dispari, di conseguenza saranno entrambi pari o entrambi dispari anche x e y (un quadrato perfetto pari non può avere radice quadrata dispari e viceversa un quadrato perfetto dispari non può avere radice quadrata pari).