Buon giorno, io vorrei sapere la formula dei minimi quadrati per delle tastature attorno ad un cilindro (posizioni X,Y)? Praticamente vorrei conoscere le formule che diano la posizione del centro e raggio del cerchio passante con il minimo errore dalle misure effettuate. Le ho cercate su dei libri di testo e su internet, ma senza risultato.

Il metodo dei minimi quadrati è un metodo di inferenza statistica che rientra nella classe dei metodi della massima verosimiglianza. Il concetto che sta alla base di questi metodi è abbastanza semplice. Inizialmente si ipotizza una relazione matematica che collega tra loro due o più grandezze su cui sono state effettuate delle misure, questa relazione deve contenere una o più costanti il cui valore inizialmente non è noto (come la posizione del centro e la misura del raggio per la circonferenza menzionata nella domanda). Dopodichè si ricercano, mediante tecniche di calcolo analitico e di teoria della probabilità, i valori che queste costanti devono avere in modo che la relazione matematica si adatti il meglio possibile all’insieme di dati che si posseggono.

Nel caso in esame abbiamo una relazione tra le coordinate di una circonferenza

le misure riguardano le posizioni dei punti. Mediante il metodo dei minimi quadrati si ottengono le seguenti espressioni per i parametri a, b e c

dove N è il numero delle coppie di misure effettuate, ,  e .

Una volta calcolati questi parametri, le coordinate del centro e il raggio si ricavano immediatamente dalle formule inverse

, , .

Vediamo ora come si applica in generale un metodo di massima verosimiglianza e in quali casi esso diventa un metodo di minimi quadrati.

Consideriamo un sistema descritto da un insieme di grandezze {G_i} e supponiamo di eseguire una serie di misure congiunte su questo insieme di grandezze. Supponiamo inoltre che considerazioni di qualche tipo ci permettono di ipotizzare la forma di un’equazione che collega tra loro questi valori, e che contenga naturalmente un insieme di parametri numerici ignoti {a_j}

dove {x_i} è un particolare set di valori relativi all’insieme di grandezze {G_i}.

Il problema dell’inferenza è trovare i valori dei parametri in modo che l’equazione si adatti il meglio possibile ai dati rilevati. Questo può essere fatto considerando la distribuzione di probabilità P[f] dei valori di  intorno allo zero.

I dati presi sono delle variabili casuali, a causa delle incertezze sperimentali e anche per l’aleatorietà intrinseca di ogni misura. Tuttavia se l’equazione individuata è abbastanza buona allora i valori assunti dalla grandezza , una volta che siano noti i parametri, saranno centrati intorno a zero e distribuiti in base ad una qualche distribuzione di probabilità. Quindi, una volta eseguiti N set di misure per le grandezze {G_i}, la probabilità che si realizzi proprio la sequenza di misure ottenuta è la probabilità congiunta che, essendo le misure indipendenti, è semplicemente il prodotto delle diverse probabilità

I metodi di massima verosimiglianza ricercano i valori dei parametri {a_j}, in modo che questa probabilità congiunta abbia il più alto valore possibile.

Il metodo dei minimi quadrati emerge quando si può fare l’ipotesi che la distribuzione dei valori di f sia gaussiana, cioè

dove con f_k abbiamo rappresentato concisamente l’espressione  e x_ik è il valore ottenuto nel set k di misure per la grandezza G_i. Cercare il massimo di un’esponenziale è equivalente a cercare il massimo del suo esponente, trattandosi di un esponente definito negativo (per la presenza del segno meno), il massimo corrisponde al minimo della somma, cioè il minimo di

da cui il nome di minimi quadrati. Nel caso in cui la deviazione standard sia uguale per tutti i set di misure, essa non influisce sul calcolo e può essere omessa nell’espressione da minimizzare. Ricercando il minimo di questa grandezza rispetto ai parametri {a_i} si ottengono i valori più opportuni in modo che l’equazione descriva al meglio i dati raccolti.

Arrivando al quesito posto dalla domanda, il calcolo dei parametri è molto semplice dato che l’equazione in questione è un’equazione algebrica che coinvolge solo due variabili. Nel caso in esame abbiamo l’equazione di una circonferenza che è

per cui la grandezza da minimizzare è

Svolgendo il quadrato otteniamo

Vediamo che l’espressione da minimizzare è un polinomio di secondo grado rispetto a tutti e tre i parametri, per cui possiamo ricercarne il valore minimo considerando di volta in volta il polinomio come una parabola rivolta vero l’alto rispetto all’ascissa a, all’ascissa b o all’ascissa c. Applicando le ben note formule per la ricerca del vertice di una parabola (ricordiamo che il vertice di una parabola rivolta verso l’alto è il punto più basso della parabola, cioè quello con ordinata minore), o comunque con i metodi standard dell’analisi delle funzioni a più variabili otteniamo tre equazioni nelle tre incognite a, b e c, risolvendo le quali abbiamo le formule dei minimi quadrati riportate all’inizio della risposta.