Le domande poste fanno riferimento alla teoria degli insiemi creata dal matematico tedesco G. Cantor (1845-1918), e in particolare la teoria dei numeri transfiniti e la concezione dell’infinito assoluto che rappresenta, in Cantor, una manifestazione dell’infinito in Dio, quindi poco pertinente con lo studio dell’infinito in matematica.
L’idea centrale del lavoro di Cantor è l’introduzione di un nuovo concetto di numero, e più precisamente il concetto di numero cardinale, che cerca di quantificare la grandezza di un insieme.
Due insiemi X e Y hanno la stessa cardinalità (quindi la loro grandezza è espressa dallo stesso numero cardinale) se esiste una funzione biiettiva f : X → Y. Ad esempio l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano X={a,b,c,…,z} ha la stessa cardinalità dell’insieme Y={1,2,3,…,21}. Nel caso di insiemi finiti la nozione di numero cardinale si riduce alla nozione di numero naturale: l’insieme X dell’esempio appena riportato ha 21 elementi, proprio come l’insieme Y, per cui si dice anche che 21 è un cardinale finito.
Le cose vanno diversamente nel caso degli insiemi infiniti, cioè quegli insiemi, seguendo Cantor, che sono in corrispondenza biunivoca con sottoinsiemi propri. in questo caso infatti la quantificazione della loro grandezza deve fare appello ad una nuova nozione di numero, ovvero al numero cardinale infinito. Il numero cardinale che denota la grandezza (leggi "numero di elementi") dell’insieme dei numeri naturali N è anche denotato con ℵ0 (ℵ=aleph è la prima lettera dell’alfabeto ebraico). E’ molto semplice dimostrare che anche l’insieme Z dei numeri interi ha lo stesso numero cardinale ℵ0 e così anche Q, l’insieme dei numeri razionali: Cantor stesso diede una dimostrazione dell’equipotenza tra Q e N passata alla storia come metodo di diagonalizzazione di Cantor. Inoltre, riuscì a mostrare invece che la cardinalità di R, l’insieme dei numeri reali, è superiore ad ℵ0: si tratta del primo cardinale maggiore di ℵ0 scoperto, denotato con ℵ1 e detto anche potenza del continuo per ovvi motivi. Effettivamente si dimostra che l’insieme dei numeri reali ha la stessa cardinalità dell’insieme delle parti di N; in formula si ha quindi ℵ1=2ℵ0. Questo modo di procedere permette di costruire infiniti numeri cardinali infiniti.
Impostato tutto ciò sorgono ovviamente tante questioni. Ad esempio è possibile fare un’aritmetica dei numeri cardinali? C’è un numero caridinale ω tale che ℵ0 < ω < ℵ1? (vedi dopo per la nozione di ordinamento tra cardinali).
Rispondiamo subito brevemente alla seconda domanda, anche perché si tratta di un celebre problema, in un certo senso mai risolto: l‘ipotesi del continuo. Il matematico americano P. Cohen (1934-2007) dimostrò nel 1964 che nell’ambito della teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo-Fraenkel l’ipotesi del continuo risulta indecidibile, ovvero non è possibile né dimostrare che è vera, né dimostrare che è falsa.
La prima domanda invece fa riferimento esattamente a quanto richiesto dall’autore. E’ possibile infatti sviluppare anche un’aritmetica dei numeri cardinali. Per ogni insieme X denotiamo con |X| il suo numero cardinale.
Ordinamento tra cardinali: Dati due insiemi X e Y, se esiste una mappa iniettiva f : X → Y allora si pone |X| ≤ |Y|.
Addizione tra cardinali: Se X e Y disgiunti allora |X∪Y|=|X|+|Y|. In particolare si dimostra, utilizzando l’assioma della scelta1, che se ω1 e ω2 sono cardinali, dei quali almeno uno è infinito, allora ω1+ω2=max{ω1,ω2}. Ad esempio quindi si ha ℵ0+ℵ0=ℵ0, e lo stesso per ℵ1, od anche ℵ0+ℵ1=ℵ1.
Sottrazione tra cardinali: Si dimostra, utilizzando ancora l’assioma della scelta, che se ω1 è un cardinale infinito e ω2 è un cardinali tale che ω1 ≤ ω2 allora esiste un cardinale ω3 tale per cui ω2=ω1+ω3.
Moltiplicazione tra cardinali: Se X e Y disgiunti allora |X×Y|=|X|∙|Y|. In particolare anche in tal caso si dimostra, utilizzando l’assioma della scelta, che se ω1 e ω2 sono cardinali, dei quali uno almeno è infinito, allora ω1∙ω2=max{ω1,ω2}. Ad esempio quindi si ha ℵ0∙ℵ0=ℵ0 e lo stesso per ℵ1, od anche ℵ0∙ℵ1=ℵ1.
Divisione tra cardinali: Si dimostra, utilizzando sempre l’assioma della scelta, che se ω1 è un cardinale infinito e ω2 è un cardinale non nullo, allora esiste un numero cardinale ω3 tale per cui ω2=ω1∙ω3 se e solo se ω1 ≤ ω2.
1Vedi www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php oppure www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php