La domanda posta immagino faccia riferimento al contesto della geometria (euclidea) nel quale per l’appunto si presentano questi termini specifici. In tale contesto la differenza tra congruenza e uguaglianza è "poca" mentre è sostanziale la differenza tra congruenza e similitudine. Esaminiamo una nozione per volta.
Uguaglianza: In matematica l’uguaglianza è una cosidetta nozione primitiva, ovvero una nozione che non viene definita; è sostanzialmente un simbolo che si usa all’interno di certe formule dal significato non ulteriormente specificato. Dal punto di vista della teoria degli insiemi, due insiemi sono uguali se contengono esattamente gli stessi elementi. Ne segue che due figure geometriche (triangoli, segmenti, poliedri, ecc…) sono uguali se sono esattamente la stessa figura (ovvero se sono lo stesso insieme di punti). Ad esempio nella figura di sotto è riportato il caso di due triangoli uguali.
I due triangoli ABC e A’B’C’ sono uguali, essendo A=A’, B=B’ e C=C’.
Congruenza: La congruenza è invece una relazione un po’ più debole dell’uguaglianza: due figure geometriche sono congruenti se esiste un movimento rigido che porta una figura nell’altra. In altre parole a meno di un movimento rigido (traslazione o rotazione per esempio, o combinazione delle due) le due figure sono uguali. Congruente è sinonimo di isometrico: le isometrie di uno spazio geometrico sono le trasformazioni dello spazio in sé che conservano le distanze. Ovviamente se due figure geometriche sono uguali, allora in particolare sono congruenti. La figura di sotto mostra due triangoli congruenti (o isometrici), ma non uguali.
I due triangoli ABC e A’B’C’ sono congruenti: la lunghezza del segmento AB coincide con la lunghezza del segmento A’B’, la lunghezza del segmento AC coincide con la lunghezza del segmento A’C’ e la lunghezza del segmento BC coincide con la lunghezza del segmento B’C’; inoltre l’ampiezza dell’angolo a coincide con l’ampiezza dell’angolo a’, l’ampiezza dell’angolo b coincide con l’ampiezza dell’angolo b’ e l’ampiezza dell’angolo c coincide con l’ampiezza dell’angolo c’.
Similitudine: La relazione di similitudine è, nel contesto della geometria euclidea, la più importante di tutte. Infatti il matematico tedesco F. Klein (1849-1925) nel suo Erlanger Programme (Programma di Erlangen, 1872) diede l’impostazione moderna della geometria, impostazione che vede "una" geometria come lo studio delle proprietà delle figure geometriche che sono invarianti rispetto ad un certo gruppo di trasformazioni dello spazio geometrico. In quest’ottica, la geometria euclidea è lo studio delle proprietà delle figure dello spazio euclideo (per esempio in dimensione 3, lo spazio ordinario dell’intuizione) che sono invarianti rispetto al gruppo delle similitudini. Le similitudini sono quelle trasformazioni dello spazio che conservano solo gli angoli tra due segmenti, o i rapporti tra le distanze; in generale non conservano le distanze. Nella figura di sotto sono rappresentati due triangoli simili, ma non congruenti; ovviamente se due figure geometriche sono congruenti, allora in particolare sono simili.
I due triangoli ABC e A’B’C’ sono simili: l’ampiezza dell’angolo a coincide con l’ampiezza dell’angolo a’, l’ampiezza dell’angolo b coincide con l’ampiezza dell’angolo b’ e l’ampiezza dell’angolo c coincide con l’ampiezza dell’angolo c’. In tal caso si ha che il rapporto dei lati corrispondenti è costante: nel caso della figura si ha che il rapporto tra la lunghezza del segmento AB e la lunghezza del segmento AC coincide con il rapporto tra la lunghezza del segmento A’B’ e la lunghezza del segmento A’C’, in quanto essi sono lati che sottendono angoli con la stessa ampiezza.
