L’integrazione lungo linee di prima specie è un’integrazione di campi scalari, ovvero di funzioni Rn→ R (si può anche fare il caso complesso), lungo cuve in Rn. Richiamiamo la definizione e le principali proprietà.
Definizione: Sia data una funzione (supponiamo continua per semplicità) f : Rn→ R e sia data una curva regolare C in Rn, immagine di una parametrizzazione regolare γ : I → Rn, ovvero C = γ(I), γ di classe C1, γ iniettiva e γ'(t) ≠ 0 per ogni t ∈ I. Allora si pone
∫Cf dσ := ∫If(γ(t))|γ'(t)| dt. (1)
Interpretazione: Il termine f(γ(t))|γ'(t)| dt nella (1) è il prodotto tra f(γ(t)) e l’elemento infinitesimo di lunghezza |γ'(t)|dt della curva C. Ne segue, ad esempio, il seguente significato geometrico: se la funzione f vale costantemente 1 allora ∫Cf dσ è, numericamente, la lunghezza della curva C (ovviamente dal punto di vista dimensionale ∫Cdσ resta una misura di una superficie, ma che coincide, come valore numerico, con la lunghezza della curva C). Ancora, se ad esempio n=2, l’integrale ∫Cf dσ rappresenta l’area della superficie (con segno) sottesa dalla funzione f lungo la curva C; va da sé che questo significato geometrico vale anche in dimensione superiore, ma non si può "visualizzare" facilmente. Oltre al significato geometrico, l’integrazione di linea di un campo scalare ha anche molti significati fisici: ad esempio per la determinzione della massa di una curva materiale C occorre effettuare l’integrale ∫Cρ dσ, essendo ρ la densità lineare di massa, od ancora per trovare la carica elettrica totale di un filo C elettricamente caricato basta calcolare ∫C λ dσ, essendo λ la densità lineare di carica elettrica.
Osservazione importante: Si osservi che la nozione di integrale di linea di campi scalari non è la generalizzazione dell’integrale di Riemann classico per funzioni di variabile reale su un intervallo [a,b]; più precisamente, è l’integrale di campi vettoriali lungo curve (integrali di linea di seconda specie) che generalizza la situazione di variabile reale, invero si ha
∫[a.b]f dx = -∫[b,a]f dx
la quale dice che l’integrale di Riemann in una variabile è orientato, così come l’integrale di linea di seconda specie.
La definizione (1) ha senso se e solo se il valore ∫If(γ(t))|γ'(t)| dt non dipende dalla scelta della parametrizzazione γ: ciò discende dal cambiamento di variabile per integrali.
Proposizione: Sia t=t(s) un cambiamento regolare di parametro, ovvero t : J → I diffeomorfismo (derivabile con inversa derivabile) con t'(s) ≠ 0 per ogni s ∈ J, J intervallo in R. Sia α : J → Rn data da α(s)=γ(t(s)). Allora α è una parametrizzazione regolare per C e si ha
∫If(γ(t))|γ'(t)| dt = ∫Jf(α(s))|α'(s)| ds. (2)
Dimostrazione: Il fatto che α sia ancora una parametrizzazione regolare per la curva C è immediato. Controlliamo la (2). Da α(s)=γ(t(s)) si ha α'(s)=γ'(t(s))t'(s). Inoltre dt=t'(s)ds e quindi, potendo supporre per esempio t'(s)>0 (il conto è analogo se t'(s)<0, e si osservi che t'(s) non può cambiare segno per ipotesi), si ha, grazie al Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali,
∫If(γ(t))|γ'(t)| dt = ∫If(γ(t(s)))|γ'(t(s))| dt = ∫Jf(α(s))|α'(s)|/t'(s)t'(s) ds = ∫Jf(α(s))|α'(s)| ds
da cui la tesi.
La Proposizione precedente ha diverse importanti conseguenze.
Conseguenza 1: L’integrale ∫Cf dσ non dipende dall’orientazione di γ (cosa invece falsa per l’integrazione di linea di campi vettoriali: in tal caso la Proposizione 1 resta vera ma solo se il cambiamento di parametro conserva l’orientamento della curva C, se cambia l’orientamento allora l’integrale cambia segno). Infatti supponiamo che γ : (a,b) → Rn sia una parametrizzazione regolare per la curva C; allora la funzione α : (-b,-a) → Rn data da α(s) = γ(-s) è ancora una parametrizzazione per la curva C, ma che orienta C in modo opposto rispetto all’orientazione indotta da γ.
Esempio. Mostriamo, a titolo di esercizio, che scegliendo due parametrizzazioni orientate in modo opposto per la stessa curva C, che l’integrale della funzione f(x,y) = xy lungo l’arco di circonferenza di equazione x2+y2 = r2 (r>0) che appartiene al primo quadrante, non dipende dalla parametrizzazione. Parametrizziamo prima C mediante la funzione γ : [0,π/2] → R2 data da γ(t) = (r cos t, r sin t): stiamo quindi percorrendo C in senso antiorario. Si ha, essendo γ'(t) = (-r sin t, r cos t),
∫Cxy dσ = ∫[0,π/2]r2 cos t sin t √(r2cos2t+r2sin2t) dt = ∫[0,π/2]r3 cos t sin t dt = r3/2.
Parametrizziamo ora C mediante la funzione α : [-π/2,0] → R2 data da α(s) = γ(-s) = (r cos (-s), r sin (-s)) = (r cos s, -r sin s): stiamo quindi percorrendo lo stesso arco di curva C ma stavolta in senso orario. Si ha, essendo α'(s) = (-r sin s, -r cos s),
∫Cxy dσ = ∫[-π/2,0]-r2 cos s sin s √(r2cos2s+r2sin2s) ds = -∫[-π/2,0]r3 cos s sin s ds = r3/2.
Conseguenza 2: Sia γ : (a,b) → Rn una parametrizzazione regolare per la curva chiusa C e sia k intero positivo. Supponiamo di percorrere la curva C k volte usando sempre la stessa parametrizzazione γ ciclicamente: ciò è possibile grazie al fatto che la curva è chiusa, e dunque γ(a) = γ(b). Allora se denotiamo con I il valore di ∫[a,b]f(γ(t))|γ'(t)| dt si ha che l’integrale di linea di f lungo la curva C percorsa k volte, vale kI. Inoltre, osserviamo anche che possiamo cambiare parametrizzazione ad ogni ciclo, grazie alla conseguenza 1 precedentemente illustrata. In particolare possiamo anche considerare una curva C non necessariamente chiusa parametrizzata da γ : (a,b) → Rn, e percorrere poi la stessa curva con orientazione opposta con la parametrizzazione α(s) = γ(-s). Ne segue che l’integrale lungo tale curva chiusa vale 2∫[a,b]f(γ(t))|γ'(t)| dt.
Una definizione più intrinseca: E’ possibile dare una definizione più intrinseca di integrale di linea di un campo scalare f lungo una curva C in Rn. Più precisamente sia C una sottovarietà regolare di Rn di dimensione 1. Allora è ben definito l’integrale di Lebesgue
∫Cf dH1
essendo H1 la misura di Hausdorff 1-dimensionale in Rn. Si può dimostrare1, come applicazione della formula dell’area, che se C = γ(I) per una certa parametrizzazione regolare γ : I → Rn, allora si ha
∫Cf dH1 = ∫If(γ(t))|γ'(t)| dt.
Questo modo di vedere l’integrale di linea in modo intrinseco è a ulteriore prova del fatto che il valore dell’integrale non dipende dalla parametrizzazione, ma solo da C come insieme di punti e dal campo f.