Le funzioni iperboliche nascono per uno scopo che è in perfetta analogia con le funzioni circolari. Le ben note funzioni circolari sin : R → R e cos : R → R (tralasciamo le altre che da queste comunque si deducono) sono funzioni regolari (di classe C∞(R)) definite su tutto l’asse reale, periodiche di periodo 2π, che parametrizzano una circonferenza di raggio 1. Infatti la funzione
γ : [0,2π) → R2, γ(t) = (cos t, sin t)
è una parametrizzazione regolare per la circonferenza C di centro (0,0) e raggio 1, che ha equazione cartesiana x2+y2 =1: infatti l’immagine della funzione γ è la curva C, percorsa una sola volta in senso antiorario a partire dal punto (1,0). Va da sé che questa caratterizzazione delle funzioni seno e coseno, appunto come funzioni circolari in quanto parametrizzano una circonferenza unitaria, non è stata la prima a farsi strada storicamente: la parola seno infatti deriva dal latino sinus che a sua volta è una traduzione di una parola araba che significa metà corda, termine dato a causa del fatto che il seno di un angolo era usato per il calcolo della lunghezza della corda da esso sottesa in quanto angolo al centro di una circonferenza.
In perfetta analogia con tutto ciò ci poniamo il problema di parametrizzare ora l’iperbole equilatera H di equazione cartesiana x2 – y2 = 1. A tale scopo poniamo (si tratta di una scelta che facciamo noi, non è certo l’unica possibile, come anche nel caso della circonferenza)
cosh t:=(et+e-t)/2, sinh t:=(et-e-t)/2, t ∈ R.
Allora si ha effettivamente cosh2 t – sinh2 t = e2t/4 + e-2t/4 + 1/2 – e2t/4 – e-2t/4 + 1/2 = 1. La funzione
γ : R → R2, γ(t) = (cosh t, sinh t)
è una parametrizzazione regolare per l’arco di iperbole equilatera di equazione cartesiana x2-y2=1, con x>0. Per questi motivi le funzioni sinh e cosh sono dette funzioni iperboliche. In analogia alle funzioni circolari, vi è anche la funzione tanh definita come rapporto tra sinh e cosh.
Le funzioni iperboliche quindi nascono per lo scopo di generalizzare la parametrizzazione dell’iperbole in analogia alla ben nota parametrizzazione della circonferenza. Uno potrebbe a tal punto pensare a parametrizzare anche altre coniche, ma si ricade comunque nelle parametrizzazioni appena citate. Infatti, un’ellisse può essere parametrizzata utilizzando opportuni riscalamenti delle funzioni circolari, mentre una parabola si parametrizza facilmente senza l’uso di particolari nuove funzioni. Salendo di dimensione il discorso resta immutato, dal momento che, ad esempio per la superficie della sfera di raggio 1, bastano ancora le funzioni circolari per scrivere una parametrizzazione regolare di essa: si pensi alle coordinate sferiche; o ancora bastano le funzioni iperboliche "piane", per così dire, per parametrizzare un iperboloide iperbolico.