Si sta affermando il seguente fatto: dati m,n ∈ N, e denotando con p il numero ottenuto da n invertendo l’ordine delle sue cifre (in base 10) allora il numero |m+n-(m+p)| è multiplo di 9 (è necessario il valore assoluto dal momento che potrebbe verificarsi m+n-(n+p)<0). Essendo m+n-(m+p)=n-p, dobbiamo solo dimostrare che dato n ∈ N e posto p il numero ottenuto da n invertendo l’ordine delle sue cifre (in base 10) allora 9 divide |n-p|.
Tale fatto è vero e per capire come dimostrarlo in generale cerchiamo l’idea lavorando prima di tutto su un esempio esplicito.
Sia n=5832. Allora in tal caso p=2385, e dobbiamo dimostrare che 5832-2385 è multiplo di 9: e in effetti, si ha
5832-2385=3447=9⋅383.
Anzitutto si ha n=5⋅103+8⋅102+3⋅10+2 e p=2⋅103+3⋅102+8⋅10+5, per cui
n-p=(5-2)⋅103+(8-3)⋅102+(3-8)⋅10+(2-5).
Purtroppo questo ultimo sviluppo non è, come infatti si vede in questo esempio, lo sviluppo in base 10 del numero n-p: infatti gli ultimi due coefficienti non sono cifre tra 0 e 9. Per ovviare a questo problema, aggiungiamo e togliamo 9 agli ultimi due addendi dello sviluppo trovato:
n-p=3⋅103+5⋅102+(9+3-8-9)⋅10+(9+2-5-9)=3⋅103+5⋅102+4⋅10+6-9⋅10-9=3⋅103+5⋅102+4⋅10+6-9⋅11.
Ora dimostrare che 9 divide n-p equivale a dimostrare che 9 divide 3⋅103+5⋅102+4⋅10+6. Ma osserviamo che abbiamo a disposizione un vero sviluppo in base 10, e il numero 3⋅103+5⋅102+4⋅10+6 è divisibile per 9 se e solo se 3+5+4+6=18 è multiplo di 9, che è una condizione verificata, essendo 18=9⋅2.
Procediamo ora in generale, avendo capito l’idea della dimostrazione. Sia dato n ∈ N. Sviluppiamo n in base 10 ponendo
n=aN⋅10N+aN-1⋅10N-1+…+a1⋅10+a0
con ai∈{0,1,…,9} e i∈{0,1,…,N}. Allora si ha, per definizione,
p=a0⋅10N+a1⋅10N-1+…+aN-1⋅10+aN.
Ne segue che
n-p=(aN-a0)⋅10N+(aN-1-a1)⋅10N-1+…+(a1-aN-1)⋅10+(a0-aN). (1)
Dividiamo ora l’insieme I={0,1,…,N} in tre sottoinsiemi disgiunti:
A={i∈I : aN-i=ai}, B={i∈I : aN-i>ai}, C={i∈I : aN-i<ai}.
Ovviamente gli addendi, nella (1), della forma (aN-i-ai)⋅10N-i con i∈A possono essere trascurati. In analogia all’esempio esplicito analizzato, gli addendi nella (1) della forma (aN-i-ai)⋅10N-i con i∈B non creano problemi, dal momento che se i∈B allora aN-i-ai∈{0,1,…,9}. I termini fastidiosi nella (1) sono quelli riferiti agli indici i∈C. Procediamo quindi con lo stesso trucco visto per il caso esplicito, ovvero aggiungiamo e togliamo 9 a ciascun addendo della (1) della forma (aN-i-ai)⋅10N-i con i∈C, ottenendo il nuovo addendo (9+aN-i-ai)⋅10N-i-9⋅10N-i. Osserviamo che siccome i∈C e ai∈{0,1,…,9} si ha certamente 9+aN-i-ai∈{0,1,…,9}. Per concludere basta quindi dimostrare che il numero naturale q ottenuto sommando i termini nella (1) della forma (aN-i-ai)⋅10N-i con i∈B e i termini dati da (9+aN-i-ai)⋅10N-i con i∈C si trova un numero divisibile per 9. Dobbiamo quindi sommare le cifre di q, e lo facciamo in modo opportuno: infatti per ogni coefficiente della forma (aN-i-ai) con i∈B, esiste ed è unico il rispettivo coefficiente (9+ai-aN-i); ma si ha aN-i-ai+9+ai-aN-i=9, per cui la somma delle cifre del numero q è multipla di 9, da cui la conclusione.