Il problema matematico del calcolo delle aree e dei volumi di figure piane e solide ha origini antichissime, ma solo in tempi relativamente recenti ha avuto una soluzione soddisfacente. C’è però da fare una precisa distinzione tra integrazione ed esaustione: infatti l’integrazione è un metodo di calcolo mentre il metodo di esaustione, messo a punto dagli antichi greci, è un metodo puramente dimostrativo: esso dimostra in modo rigoroso la validità di certe uguaglianze di aree o volumi, dedotte precedentemente per altra via.
Il metodo di esaustione si fonda su un postulato chiamato postulato di Eudosso, che si trova anche negli Elementi di Euclide, dove il metodo viene applicato per la determinazione di aree e volumi. Il postulato di Eudosso nella sua forma originale dice quanto segue:
Date due grandezze omogenee A e B, con A<B, esiste un numero n tale che nA>B.
Si avverte in questo postulato la presenza dell’infinito potenziale; infatti esso vuole dire che comunque la grandezza A sia più piccola della grandezza B, ci sarà sempre un multiplo di A che supera B, poiché moltiplicando A per un numero arbitrario di volte è possibile superare qualunque grandezza assegnata (infinito potenziale). Osserviamo che il postulato di Eudosso è un postulato vero e proprio; infatti esso non vale per ogni coppia di grandezze, ma vale solo per quelle grandezze dette, per definizione, archimedee. Non conviene entrare nel dettaglio della presentazione di grandezze non archimedee (e cioé che non verificano il postulato di Eudosso), ma è doveroso sapere che esse esistono, e questo motiva l’esistenza del postulato di Eudosso. La versione euclidea che appare come la definizione IV data nel libro V degli Elementi dice quanto segue:
Si dice che hanno tra loro rapporto le grandezze che possono, se moltiplicate, superarsi reciprocamente.
Euclide è quindi pronto per dimostrare il seguente teorema:
Teorema: Date due grandezze disuguali, se si sottrae dalla maggiore una grandezza maggiore della metà, dalla parte restante un’altra grandezza maggiore della metà, e così si procede successivamente, rimarrà una grandezza che sarà minore della grandezza minore assunta.
Questo teorema rappresenta lo strumento fondamentale con cui opera il metodo dimostrativo di esaustione. In astratto il metodo procede nella dimostrazione di una ipotetica uguaglianza A=B dedotta per altra via. Sia B la grandezza incognita, che va provato essere uguale ad A. Si supponga A<B, e si operi su B secondo il teorema dato da Euclide. Dopo m passi si avrà A > B / 2m e da qui si cerca di arrivare all’assurdo. Analogamente si procede nel caso di A>B.
L’ingegno di Archimede, per esempio, porta quest’ultimo a deduzioni di formule da dimostrare, facendo uso di metodi meccanici, ovvero da considerazioni di tipo fisico. Archimede quindi deduce la validità di certe formule geometriche, che provvederà a dimostrare con il metodo di esaustione.
Il metodo di esaustione è dunque un rigoroso metodo dimostrativo, ma non è versatile. Il rigore del metodo di esaustione verrà recuperato solo nel XIX secolo con l’introduzione dell’integrale di Cauchy. Il primo debole tentativo di dar vita ad un metodo di calcolo per aree e volumi fu l’introduzione degli indivisibili di Cavalieri: tale metodo, ideato alla fine del 1500, è teoricamente debole, ma è una prima rozza versione concettuale del calcolo di integrali multipli.
Successivamente, con l’introduzione del calcolo integrale per opera di Newton, Leibniz e gli analisti a loro successivi, si arriva, nel tardo Settecento, ad una prima sistemazione di un metodo ora di calcolo e non più solo dimostrativo: con il calcolo degli integrali definiti le aree e i volumi vengono calcolati, e non è più necessario intuire le formule da dimostrare.
Infine, va osservato che la moderna teoria della misura non è stata creata allo scopo di fornire un ulteriore strumento di calcolo che va nella direzione della risoluzione del problema delle aree e dei volumi, bensì fu creata allo scopo di rendere più flessibile la teoria dell’integrazione multipla fatta con il più adatto integrale di Lebesgue.
Per una trattazione più dettagliata del metodo di esaustione si veda: L. Lussardi: Metodi infinitesimali nell’antichità. I parte: l’infinito negli antichi e il metodo di esaustione. Matematicamente.it Mag. 4 (2007) 11-15.