Anzitutto la frase citata e tratta dal film è solo parzialmente corretta. In particolare, solo la prima parte è corretta, ovvero che una figura geometrica che ha più diametri uguali tra loro potrebbe non essere una circonferenza; non è poi vero che questo sia dovuto al fatto che la figura non ha un centro. Per spiegare meglio la questione bisogna appunto dare la definizione di diametro di una figura geometrica qualunque, e per far questo decidiamo di chiamare figura geometrica (piana, anche se lo stesso discorso di può fare anche per le figure spaziali) ogni sottoinsieme chiuso e limitato del piano euclideo, inteso come insieme dei suoi punti: rientrano in questa famiglia ovviamente tutte le figure note delle geometria, quindi, ad esempio, triangoli, rettangoli, trapezi, cerchi, ecc… Si dice diametro della figura F il numero reale
dF:=sup{d(P,Q) : P,Q ∈ F}, d(P,Q)=distanza tra P e Q,
ovvero, in altre parole, il diametro di F è la più grande distanza tra i punti di F. Il fatto che abbiamo deciso di considerare, come figura geometrica, ogni sottoinsieme chiuso e limitato del piano dice che dF è sempre realizzato da almeno una coppia di punti della figura F, ovvero è un massimo e non solo un estremo superiore, quindi esistono P,Q ∈ F tali che dF=d(P,Q): il diametro di F inteso come segmento di massima distanza è quindi il segmento che congiunge i due punti P,Q così determinati.
A questo punto è facile comprendere il fatto che una figura geometrica che ha più diametri uguali tra loro potrebbe non essere una circonferenza; lo stesso esempio fa vedere anche che non è vero in generale che questo sia dovuto al fatto che la figura non ha un centro. Basta infatti considerare un triangolo equilatero ABC, come in figura sotto: allora i lati del triangolo sono i segmenti che realizzano la massima distanza tra i punti dei triangolo, e quindi il diametro di un triangolo equilatero è pari alla lunghezza del lato; ma i tre lati non si incontrano in uno stesso punto, benché il triangolo equilatero abbia un centro di simmetria.
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Esiste un interessante approfondimento sul concetto di diametro di una figura geometrica. Consideriamo un cerchio ed un suo diametro; se incastriamo il cerchio tra due guide rettilinee parallele che toccano il diametro e facciamo rotoloare il cerchio allora esso resta incastrato tra le due guide:
Il cerchio è quindi una figura a spessore costante: questa proprietà è legata al fatto che i diametri del cerchio si ottengono ruotando un dato diametro attorno al centro del cerchio, quindi stavolta è una proprietà che è vera perché la figura in questione ha un centro. È questa la sola figura geometrica con questa proprietà? Se richiediamo che il centro di simmetria sia anche il centro dei diametri allora la risposta è affermativa, ma se non richiediamo ciò non è più vero, e quindi ci sono altre figure geometriche a spessore costante, ed è molto semplice costruirne. Costruiamo la figura a spessore costante più celebre tra tutte, che non sia un cerchio. Partiamo da un settore circolare di ampiezza 60o, e dunque i segmenti tratteggiati sono tutti diametri:
Ripetiamo la costruzione puntanto il compasso in A e quindi in B, sempre con lo stesso raggio, trovando la figura
che è una figura a spessore costante, come il cerchio:
(figura tratta da www.jimloy.com/geometry/width.htm)
Questa figura fu trovata dall’ingegnere tedesco Franz Reuleaux (1829-1905), e quindi è nota in letteratura anche col nome di triangolo di Reuleaux. Poiché il triangolo di Reuleaux può ruotare all’interno del quadrato circoscritto mantenendosi tangente ai lati in ogni istante, e poiché il bordo descrive una traiettoria approssimativamente quadrata, si utilizza nella pratica questa figura geometrica per la costruzione di punte di trapani che fanno dei fori approssimativamente quadrati.