Un esercizio nega che R^2 sia sottospazio vettoriale di R^3, anche identificando il vettore (a,b) con (a,b,0) in quanto sono “elementi distinti che appartengono a insiemi distinti e separati”. È facile cadere nell’errore, ma si potrebbe avere una spiegazione più esauriente?

L’effermazione riportata dall’esercizio menzionato dall’autore della domanda è corretta: R² non è un sottospazio vettoriale di R³, in quanto, banalmente, non ha semplicemente senso chiedersi la cosa, dal momento che R² non è un sottoinsieme di R³. Infatti, dato uno spazio vettoriale V un sottospazio vettoriale W di V è, in parole povere, per definizione un sottoinsieme di V che, con le stesse operazioni ereditate da V, diventa a sua volta uno spazio vettoriale. L’identificazione proposta dallo stesso autore però mette a posto le cose in modo rigoroso. Infatti, l’applicazione L : R² → R³ data da

L(x,y) := (x,y,0)

è lineare e iniettiva: per ogni a,b ∈ R e per ogni (x₁,y₁),(x₂,y₂) ∈ R² si ha

L(a(x₁,y₁)+b(x₂,y₂)) = (ax₁+bx₂,ay₁+by₂,0) = a(x₁,y₁,0)+b(x₂,y₂,0) = aL(x₁,y₁)+bL(x₂,y₂)

L(x₁,y₁) = L(x₂,y₂) ⇒ (x₁,y₁,0) = (x₂,y₂,0) ⇒ (x₁,y₁) = (x₂,y₂).

Ne segue che, per noti risultati di algebra lineare, L(R²) è un sottospazio vettoriale di R³ isomorfo a R², e quindi questo sottospazio è sostanzialmente una copia di R². Va da sé che le stesse considerazioni valgono per una qualsiasi applicazione lineare e iniettiva L : R² → R³ : in ogni caso L(R²) risulta un sottospazio vettoriale di R³ isomorfo a R², e questo sottospazio è ancora una copia di R²; la scelta fatta è solo quella più semplice che uno potrebbe pensare.