In realtà è più corretto dire che il teorema della divergenza è un caso particolare del teorema di integrazione per parti in RN, mentre il teorema di Stokes è una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo integrale. Chiariamo la cosa analizzando anzitutto il teorema di integrazione per parti in dimensione arbitraria N. Sia A un aperto limitato in RN con bordo ∂A di misura finita e sia n la normale esterna a A. Sia f un campo scalare su A e sia g un campo vettoriale su A, entrambi sufficientemente regolari. Allora si ha
∫A∇ f(x) · g(x) dx = ∫∂A f(s) n(s) · g(s) ds – ∫A f(x) div g(x) dx (1)
dove ds è la misura di superficie e dx è la misura di volume (si pensi al caso 3D). Prima di tutto osserviamo che in dimensione N=1 ritroviamo la classica formula di integrazione per parti; infatti, se A=[a,b] allora si trova
∫[a,b] f'(x)g(x) dx = f(b)g(b)-f(a)g(a) – ∫[a,b] f(x)g'(x) dx.
Se poniamo f=1 nella formula di integrazione per parti generale (1) troviamo la formula che rappresenta il classico teorema della divergenza:
∫∂A n(s) · g(s) ds = ∫A div g(x) dx (2)
il quale quindi dice che il flusso di un campo attraverso la superficie chiusa ∂A è pari all’integrale di volume su A della divergenza del campo. Ecco quindi mostrato come il teorema della divergenza sia un caso particolare dell’integrazione per parti. La formula (2) ha svariate applicazioni. Ad esempio, in analisi matematica permette, in certe situazioni, di ridurre un integrale di superficie ad un integrale di volume. In fisica, per esempio in elettromagnetismo, si fa un pesante uso dei teoremi di analisi vettoriale. A titolo di esempio, se E è il campo elettrico generato da un insieme di cariche elettriche racchiuse dentro un volume A allora si ha, per il teorema di Gauss,
∫∂A n(s) · E(s) ds = Q = ∫A d(x) dx (3)
essendo Q la carica totale racchiusa in A, ed essendo d la densità di volume delle cariche. Il teorema della divergenza permette di avere una forma differenziale della precedente formula: infatti, si ha, combinando la (2) applicata con g = E e la (3),
∫A div E(x) dx = ∫A d(x) dx
da cui la forma locale div E = d.
Per quanto riguarda invece il teorema di Stokes il discorso si fa più complicato, in quanto il classico teorema di Stokes è naturalmente ambientato in R3: esso afferma, senza entrare troppo in dettagli tecnici sulle ipotesi necessarie per la sua validità, che si ha
∫∂S t(r) · g(r) dr = ∫S rot g(s) · n(s) ds (4)
essendo g campo vettoriale definito su una superficie orientabile S, t opportuno campo di vettori tangenti a ∂S, e ds misura di superficie; in altre parole, la circuitazione di un campo lungo la curva bordo ∂S è pari al flusso del rotore del campo attraverso la superficie S. Anche qui osserviamo che la (4) può essere estremamente utile per ridurre un integrale di superficie ad un integrale di linea, o viceversa. Per scoprire che si tratta di una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo integrale conviene però vedere la forma più generale della (4) che è la seguente formula, vera per le varietà differenziabili:
∫∂M u = ∫M du (5)
essendo M una varietà differenziabile di dimensione N orientata, ∂M il suo bordo opportunamente orientato, u una (N-1) forma differenziale su M e du il suo differenziale esterno. Allora potendo ora scegliere M:=[a,b] e u : [a,b] → R funzione regolare si vede che la formula (5) diventa semplicemente
u(b)-u(a) = ∫[a,b] u’dx
che è il classico teorema fondamentale del calcolo integrale.