Come potremmo cercare di visualizzare, se è possibile, una ipersfera tetradimensionale sulla “falsariga” degli ipercubi tetradimensionale.

Giornata estiva molto calda al mare, siamo distesi sotto l’ombrellone quando d’improvviso appare un puntino nel cielo che pian piano si gonfia espandendosi in una sfera di raggio sempre più grande, fino a che per un istante la crescita si blocca e la sfera, con la stessa velocità con cui si era gonfiata sembra sgonfiarsi, fino a ricollassare in un punto e svanire nel nulla.

Cosa è successo? a che strano fenomeno abbiamo assistito? Per il lettore che conosce il celebre racconto fantastico Flatlandia di E. Abbott (1838-1926) è molto semplice spiegare l’accaduto: una ipersfera 4-dimensionale ha attraversato il nostro mondo 3-dimensionale. Infatti, lo stesso fenomeno, di una dimensione in meno per così dire, viene riferito dagli abitanti di Flatlandia: la nostra sfera 3-dimensionale attraversa il mondo fantastico 2-dimensionale raccontato da Abbott e appare quindi (non agli abitanti di Flatlandia in realtà che sono costretti a vivere sul piano) come una espansione di un punto in una famiglia di cerchi sempre più grandi, fino al cerchio massimo della sfera, per poi regredire, tornare al punto e scomparire, proprio come la nostra visione in cielo.

Lasciamo da parte la fantasia e passiamo a considerazioni più precise. Abbiamo compiuto infatti un’importante operazione concettuale che spesso aiuta a comprendere concetti matematici difficilmente accessibili all’intuizione: un cosiddetto ragionamento per analogia. Per cercare di "vedere" un oggetto a 4 dimensioni avendo intuizione solo con 3 dimensioni abbiamo provato a capire come un oggetto a 3 dimensioni possa essere "visto" da chi invece ha a disposizione solo 2 dimensioni: quindi, così come una sfera 3-dimensionale è una pila incolonnata lungo la terza dimensione di cerchi di raggio variabile, da 0 fino al raggio della sfera, e dal raggio della sfera a 0, una sfera a 4 dimensioni sarà costituita da una colonna, che si innalza lungo la quarta dimensione, di sfere 3-dimensionali di raggio variabile, da 0 al raggio dell’ipersfera, e dal raggio dell’ipersfera a 0. Il ragionamento per analogia permette anche di "vedere" un ipercubo, come l’autore della domanda afferma: infatti, così come aprendo un cubo tridimensionale e sviluppandolo sul piano troviamo una figura 2-dimensionale costituita da quadrati, così possiamo immaginare lo sviluppo dell’ipercubo aperto e disteso nello spazio 3-dimensionale:

A sinistra un cubo aperto sul piano, a destra un ipercubo aperto sullo spazio

(figura tratta da maxart.wordpress.com/2009/07/14/tesseratto/)

Purtroppo vedere lo sviluppo dell’ipersfera in modo analogo non è possibile, in quanto, tecnicamente parlando, la sfera è una superficie che ha una curvatura di Gauss non nulla, fatto che impedisce la sviluppabilità su un piano. C’è però un altro modo per "vedere" l’ipersfera in un colpo solo, per certi versi simile allo sviluppo dell’ipercubo: infatti, così come una sfera 3-dimensionale che attraversa il piano lascia come traccia una serie di anelli concentrici, si può dimostrare che una ipersfera al suo interno presenta una serie di "ciambelle" (tori per essere precisi) l’una dentro l’altra, come la prossima figura cerca di illustrare.