Le persone si dividono in 10 categorie: quelle che conoscono il sistema binario e quelle che non lo conoscono.
Questa nota divertente frase contiene la chiave per rispondere alla questione posta. Siamo infatti troppo abituati a pensare che i numeri coincidano con la loro rappresentazione, ma così non è e i più importanti esempi vengono proprio dalla teoria della rappresentazione dei numeri naturali in basi diverse: il numero due, concetto astratto che è in comune all'insieme fatto da una coppia di mele e da una coppia ragazzo-ragazza, possiamo decidere di scriverlo usando il simbolo 2, se per esempio decidiamo di usare la base dieci oppure di scriverlo usando il simbolo 10 se decidiamo di usare la base due (ecco la spiegazione della curiosa frase di apertura: ci sta scritto in realtà che le persone si dividono in due categorie: quelle che conoscono il sistema binario e quelle che non lo conoscono). Scegliendo infatti una certa base n, con n numero naturale non nullo, abbiamo a disposizione n simboli per denotare i primi n numeri naturali, zero compreso,simboli che denotiamo con 0,1,…,n-1. Si dimostra che un numero naturale m non nullo può essere scritto in modo unico come
m = ah•nh + ah-1•nh-1 + … + a0•n0, con ah non nullo e ai ∈ {0,1,…,n-1} (1)
da cui la sua rappresentazione in base n è data da ahah-1…a0. Per scrivere dunque il numero due in base dieci abbiamo semplicemente da osservare che
due = due•diecizero
per cui, avendo la cifra 2 per denotare il due e la cifra 0 per denotare lo zero, due viene scritto come 2. Invece, per scrivere il numero due in base due, dobbiamo scrivere
due = uno•dueuno + zero•duezero.
Avendo a disposizione solo i simboli 1 per l'uno e 0 per lo zero, la precedente diventa
due = 1•due1 + 0•due0
che fornisce 10 come rappresentazione del numero due in base due.
La rappresentazione dei numeri si può estendere facilmente ai numeri reali, semplicemente estendendo l'espressione (1) anche ad esponenti negativi. Precisamente, in base n un numero reale x può essere scritto come
x = ah•nh + ah-1•nh-1 + … + a0•n0 + a-1•n-1 + a-2•n-2 + …, con ai ∈ {0,1,…,n-1}.
In base dieci stiamo semplicemente scrivendo la rappresentazione decimale, in generale costituita da infiniti termini (a differenza dei numeri naturali), del numero x, o meglio una rappresentazione decimale di x: infatti, a differenza di quanto accade per i numeri naturali, in generale la rappresentazione non è più unica, anche se è fissata la base, e l'esempio è proprio dato dal caso riportato nella domanda posta. Infatti, il numero uno, che si rappresenta con 1 in base dieci, si rappresenta, nella sua forma più generale, anche come
0.(9),
notazione che sta per 0.9 periodico. Basta alla scopo osservare che sommando la serie geometrica
9/10+9/100+9/1000+… = ∑h 9/10h (2)
si ottiene proprio 1; questa metodologia basata sulle serie numeriche si trova per la prima volta scritta negli Elementi di Algebra di Eulero, opera edita nel 1765. Si badi bene che questo accade per i numeri reali: la serie numerica in (2) converge a 1 nel sistema dei numeri reali; effettivamente in contesti allargati, come quelli tipici dell'analisi non standard, 1 e 0.(9) sono rappresentazioni di due numeri distinti che differiscono tra loro per un infinitesimo. Riallacciandosi infine al testo della domanda, osserviamo anche che un modo più diretto per convincersi che 0.(9) sta rappresentando ancora 1 è un uso opportuno delle frazioni: da
0.(3) = 1/3
si trae 0.(9) = 3 • 0.(3) = 3 • 1/3 = 1.