Il gioco sulla scatola aperta dopo una prima decisione è un classico esercizio di probabilità, noto anche come problema di Monty-Hall, nato in riferimento a un programma televisivo statunitense degli anni '90, ma già noto a fine Ottocento come paradosso delle tre scatole di Bertrand1. Questo simpatico rompicapo dimostra che il nostro intuito può facilmente essere tratto in inganno; crediamo infatti che aprendo una scatola vuota la situazione venga azzerata probabilisticamente quando invece dobbiamo ricordarci gli estremi della situazione: la scatola B sulla quale abbiamo puntato ha 1/3 di probabilità di essere vincente, così come la scatola A e la scatola C, quindi l'evento scatola A o scatola C ha una probabilità 2/3 di essere la soluzione, e se la A è vuota abbiamo 2/3 di probabilità quindi che la C sia la vincente, per cui conviene cambiare scelta. Effettivamente ci si può divertire a creare delle simulazioni del gioco e calcolare la relativa probabilità usando la definizione frequentista: si osserverà proprio la soluzione appena illustrata. Si badi bene però una cosa molto importante: nulla in questa situazione viene riportato alle condizioni iniziali; il croupier non ci apre una scatola casualmente, ma ce ne apre una sicuramente vuota e la mette da parte, c'è quindi un'aggiunta di informazioni durante il gioco. Sarebbe inoltre completamente diverso se il croupier richiudesse tutte quante le scatole, scambiasse le etichette e ci richiedesse di scegliere; quest'ultima possibilità è sostanzialmente ciò che accade, ad esempio, nel gioco del lotto, già per altro discusso nella risposta
http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=13017
Nel caso dell'estrazione del lotto si ha davanti una cosiddetta estrazione senza reimmissione, termine che sta ad indicare che sono state effettuate delle estrazioni e successivamente tutte le palline estratte dall'urna vengono reimmesse nell'urna stessa per la nuova estrazione. L'intuito suggerisce che il caso non ha memoria, quindi la presunta probabilità più alta dei numeri ritardatari non ha un fondamento razionale, ma non ha un fondamento razionale neanche il contrario: non è possibile dimostrare in modo rigoroso che il caso non ha memoria, è una ipotesi di lavoro che facciamo noi, plausibile e fisicamente sensata quanto si vuole, ma è pur sempre una ipotesi. Ecco come mai è così difficile convincere una persona con poco buon senso che i numeri ritardatari non hanno proprietà speciali rispetto agli altri; un modo possibile per convincersi potrebbe essere quello di effettuare un'analisi delle estrazioni degli ultimi anni e controllare le relative probabilità.
1Un ringraziamento a Sebastiano Don per le referenze sul problema di Monty-Hall.