Prima di iniziare la trattazione dell’argomento bisogna fare
qualche premessa. Per prima cosa, conveniamo di denotare con la lettera
n un generico numero intero e indichiamo con x il numero
intero più vicino a x; nel caso in cui x è del
tipo n / 2 decidiamo di porre 
. Così, per esempio, se x = 3.274 allora
x = 3; se x = 5.872122478 allora
x = 6 e se invece x = 7,5 allora
x = 7.
Ricordiamo inoltre che
una funzione f(x) definita in un intervallo I
dell’insieme dei numeri reali 
si dice
continua nel punto 
se 
, mentre si dice continua in tutto I se
è continua in tutti i punti dell’intervallo I. In modo molto
informale, e leggermente impreciso, si può dire che il grafico di una
funzione continua può essere tracciato come una linea che non contiene
interruzioni, una linea continua appunto (v. figure 1 e 2).
 |
|
|
| Figura 1. Funzione continua. | Figura 2. Funzione discontinua. |
Una funzione f(x) si dice derivabile in
se esiste ed è finito il 
, il quale viene indicato con
f’(x0) e rappresenta il coefficiente angolare della
retta tangente alla funzione nel punto x0. Se
f(x) è derivabile in ogni punto di I si dice che
f(x) è derivabile in I (v. figura 3).
Figura 3. Interpretazione geometrica della derivata.
Fatte queste precisazioni iniziali, osserviamo che è
abbastanza agevole verificare che una se funzione f(x) è
derivabile in x0 allora essa è anche continua in
quel punto. Il contrario invece non è assolutamente vero: esistono un
funzioni che sono continue in un punto ma non derivabili in esso. Un
semplice esempio è costituito dalla funzione
S0(x) := | x – x |,
il cui grafico è mostrato in figura 4.
Figura 4. Grafico di S0(x) := | x – x |.
Come si può notare, essa è continua in tutto
ed è derivabile quasi ovunque
tranne che nei punti in cui si hanno degli spigoli, ossia nei punti della
forma n e n / 2.
Allo stesso modo, la funzione
S1(x) := S0(2x) / 2,
il cui grafico è mostrato in figura 5, è continua in tutto e derivabile ovunque tranne nei punti del tipo
n, n / 4, n / 2,
3n / 4.
Figura 5. Grafico di S1(x) := S0(2x) / 2.
Se consideriamo la funzione somma
S0(x) + S1(x) ci
rendiamo facilmente conto che essa è continua in tutto ed è derivabile ovunque ad esclusione
dei punti n, n / 4, 3n / 4, come si
nota dalla figura 6.
Figura 6. Grafico di S0(x) + S1(x).
Invece la funzione
S2(x) := S0(22x) / 22 := S0(4x) / 4,
anche essa continua in tutto , non è
derivabile nei punti n, n / 8,
n / 4, 3n / 8, n / 2,
5n / 8, 3n / 4, 7n / 8,
come risulta dal suo grafico in figura 7.
Figura 7. Grafico di S2(x) := S0(4x) / 4.
Se consideriamo la somma di queste tre funzioni, otteniamo
una funzione che pur essendo continua in tutto non è derivabile in n, n / 8,
3n / 8, n / 2, 5n / 8,
7n / 8.
Figura 8. Grafico di S0(x) + S1(x) + S2(x).
In generale, posto
Sk(x) := S0(2kx) / 2k,
la funzione 
non presenta alcuna
discontinuità in ma presenta alcuni
punti di non derivabilità.
La nostra intuizione, forte della rappresentazione grafica
che abbiamo delle funzioni continue, ci porta a pensare che non possano
esserci funzioni continue in tutto un intervallo e non derivabili in nessun
suo punto, ma contrariamente a quanto possiamo immaginare Weierstrass
è riuscito a dimostrare che funzioni di questo tipo esistono
costruendone una che gode di tali proprietà; successivamente sono
state trovate molte altre funzioni che si comportano in questo modo. In
questa pagina viene illustrata quella che a mio avviso è la più
semplice da costruire e da rappresentare.
Ritornando alla
successione S0(x), S1(x),
S2(x), …, Sn(x), …, si
può dimostrare che:
-
la serie
è
convergente e, indicata con W(x) la funzione somma, il suo
grafico è mostrato in figura 9; - W(x) è continua in tutto ;
- W(x) è non derivabile in ogni punto di .
Figura 9. Grafico della funzione W(x).
Le dimostrazioni della convergenza della serie e della
continuità della funzione somma W(x), anche se non sono
molto complicate, presuppongono conoscenze di carattere universitario e
pertanto vengono esposte nella seconda parte dell’appendice. La
dimostrazione della non derivabilità è invece molto complicata
e quindi si ritiene opportuna ometterla in questa sede.
Come detto in
precedenza, esistono molte funzioni simili a quelle introdotte da Weierstrass
e W(x) non è quella introdotta dal matematico, ma
è la seguente:
.Un’altra funzione di questo tipo è:
, con 0 < b< 1 eab > 1 + 3p / 2.
Appendice
Prima parte: definizioni
Considerata una successione di funzioni
f0(x), f1(x),
f2(x), …, fn(x), …
tutte definite nel medesimo intervallo I, si può considerare la
successione
g0(x) := f0(x),
g1(x) := f0(x) + f1(x),
g2(x) := f0(x) + f1(x) + f2(x),
…, gk(x) := 
, …; se la successione delle gn(x)
ammette per limite qualche funzione f(x) si dice che la
serie delle fn(x) converge a
f(x) e si pone 
:= f(x). Se per esempio
fn(x) = 1 per ogni x e per ogni
k, la serie non converge a nessuna
funzione, mentre se poniamo
fn(x) = xn / k!
(dove k indica il fattoriale di k, cioè il
prodotto di tutti i numeri naturali compresi tra 1 e k) si può
dimostrare che la serie converge alla
funzione esponenziale ex, dove e indica il numero di
Nepero.
Seconda parte
(consigliata a un pubblico con una
cultura matematica di livello universitario)
La serie 
Sk(x) è convergente.
Infatti, si può notare che, per ogni numero naturale k,
0 
|Sk(x)| 1 / 2k, ossia
la serie |Sk(x)|
è maggiorata termine a termine dalla serie (1 / 2k), la quale è
convergente a 1: pertanto, Sk(x) converge uniformemente alla
funzione che abbiamo indicato con W(x).
Inoltre, dal momento che
le funzioni Sk(x) sono tutte continue e la
convergenza è uniforme, allora la funzione somma è
continua.