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La domanda posta è molto interessante perché permette di fare un salto concettuale e inquadrare la problematica in un contesto molto più generale, che è quello delle soluzioni fondamentali nell'ambito della teoria delle distribuzioni applicata a problemi parabolici. Non affrontiamo la risposta in modo rigoroso ma cercheremo di illustrare in modo abbastanza euristico come la problematica si può inquadrare. Dedurremo che la difficoltà sta proprio nella computazione della funzione di Green che si fa nel caso dell'equazione del calore ma che può risultare impossibile in altri casi.
La funzione di Green (anche se non si tratta di una funzione ben precisa come vedremo ma di una classe di funzioni) deve il suo nome al matematico inglese G. Green (1793-1841) che ne sviluppò la teoria attorno al 1830 nell'ambito della teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali: l'idea consiste nel determinare in forma chiusa le soluzioni di un'equazione alle derivate parziali lineare "sovrapponendo" condizioni iniziali elementari per le quali si sa trovare una soluzione esplicita. Vediamo di essere un po' più precisi considerando una tipica equazione parabolica -ut+Lu=0 con u=u(x,t), x∈Rn, t ≥ 0, e L operatore lineare che rende tale equazione parabolica: si pensi al caso L=∆ nel qual caso si ottiene l'equazione del calore. A questa equazione viene solitamente associata una condizione iniziale del tipo u(x,0)=f(x), dove f rappresenta il dato iniziale, per esempio la distribuzione iniziale di temperatura nel caso dell'equazione del calore. Vediamo di mettere in moto l'idea di Green: il caso che dovrebbe essere il più semplice tra tutti è quello in cui f è concentrata in un punto, quella che in analisi si chiama anche delta di Dirac e denotata con δ. La delta di Dirac non è una funzione "ordinaria" come lo sono u oppure f, ma è una distribuzione: infatti per formalizzare l'idea di Green è necessario che δ sia una funzione che vale 0 ovunque tranne che per x=0 e che integri a 1 su tutto lo spazio, cosa impossibile per una funzione ordinaria. Un modo equivalente per definire la delta di Dirac è quello di dire che per ogni funzione ϕ abbastanza regolare si ha, con abuso di notazione (δ(x) non avrebbe senso e il seguente integrale non dovrebbe essere in dx),
∫ϕ(x)δ(x)dx=ϕ(0). (1)
Vediamo come mai queste proprietà della delta di Dirac consentono di avere la forma chiusa della soluzione del problema -ut+Lu=0, u(x,0)=f(x). Supponiamo infatti di aver determinato la soluzione G del problema -Gt+LG=0, G(x,0)=δ(x). Allora la convoluzione
u(x,t) := ∫G(x-y,t)f(y)dy (2)
risolve il problema di Cauchy -ut+Lu=0, u(x,0)=f(x): grazie alla linearità di L si ha subito -ut+Lu=0, mentre grazie alla (1) si ha formalmente
u(x,0) = ∫G(x-y,0)f(y)dy = ∫δ(x-y)f(y)dy=f(x).
Non entriamo nel dettaglio della teoria delle distribuzioni necessaria per rendere rigorosi questi passaggi; la funzione G altri non è che, per definizione, la funzione di Green dell'operatore L. Il problema quindi più grande non sta nella rappresentazione della soluzione in forma di convoluzione (2) (si pensi che il dato f potrebbe essere abbastanza generico) bensì nella determinazione di G come soluzione nel senso delle distribuzioni della stessa equazione con dato iniziale δ. Nel caso dell'equazione del calore la funzione di Green si trova facilmente ma per altre equazioni così non è e questo sta alla base della ricerca di metodi alternativi di soluzione che partono però da considerazioni sull'equazione del calore che, in un certo senso, è il caso più semplice tra tutti.
First of all, let us explain the question: The Green's function gives rise to one of the methods for solving the heat equation, but we have many others. Is the existence of alternative methods due to the difficulty to find Green's function? What about the difficulty to compute convolution products?
The question is very interesting since it requires to understand deeply what happens when we apply the theory of distributions to parabolic equations. We will give only heuristic explanations.
The study of the Green's function (it should be better to say Green's functions since we have not only one Green's function) dates back to the British mathematician G. Green (1793-1841) who introduced such a concept in the year 1830 in the framework of partial differential equations: the idea is to find a closed form for the solutions of a linear partial differential eequation by the principle of superpositions starting from elementary Cauchy problems for which the solution can be found. Let us see more precisely what happens when we consider a general parabolic type equation -ut+Lu=0 with u=u(x,t), x∈Rn, t ≥ 0, and L operator good enough: think to the model case L=∆, that is the case of the heat equation. Associated with this equation usually there is a initial condition of type u(x,0)=f(x), where f represent the initial data, for instance the distribution of initial temperature in the case of the heat equation. Let us see how to implement the idea of Green: the simple case should be the case where f is concentrated in a point, in calculus we call it Dirac's delta and we denote by δ. Notice that δ is not a function in the usual sense, as for u or f for instance; indeed, in order to formalize the idea of Green the Dirac's delta should be equal to 0 everywhere unless x=0 and with integral 1 on the whole space. Equivalently, the Dirac's delta can be defined in the following way: for each ϕ smooth enough it holds (be careful, δ(x) does not make sense as dx but the next formula is more understendable),
∫ϕ(x)δ(x)dx=ϕ(0). (1)
Assume now that we are able to find the solution G of the problem -Gt+LG=0, G(x,0)=δ(x). Then the convolution
u(x,t) := ∫G(x-y,t)f(y)dy (2)
solves the Cauchy problem -ut+Lu=0, u(x,0)=f(x): thanks to linearity of L we have -ut+Lu=0, while thanks to (1) formally it holds
u(x,0) = ∫G(x-y,0)f(y)dy = ∫δ(x-y)f(y)dy=f(x).
We don't enter in details of the theory of distributions, it suffices to say that it is possible to make all the computations above rigorous; the function G is called, by definition, the Green's function of the operator L. Therefore, the main problem is the computation of G and not the convolution (2), think that f could be sufficiently generic. In the simple case of the heat equation the Green's function can be easily computed but for other equations this is not the case. Nevertheless, the behavior of the heat equation is very important in order to investigate more general cases, heat equation is a paradigmatic example of parabolic type equations, therefore it is important to try other methods also starting from the heat equation.