Chiedersi se è possibile pensare alla soluzione di una equazione alle derivate parziali come una geodetica sopra una superficie è una questione letteralmente mal posta: infatti, le equazioni delle geodetiche sono equazioni differenziali ordinarie e non alle derivate parziali; in particolare, in coordinate locali x=(x1,…,xn) si scrivono come
xk”(t)+Γkij(x(t))xi‘(t)xj‘(t)=0, k=1,…,n, (1)
essendo Γkij i simboli di Christoffel della connessione sulla superficie assegnata. Le equazioni delle geodetiche formano quindi un sistema di equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine. Al limite quindi uno potrebbe porsi la seguente domanda: è possibile che un sistema di equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine della forma
xk”(t)+Akij(x(t))xi‘(t)xj‘(t)=0, k=1,…,n, (2)
sia interpretabile come sistema le cui soluzioni sono geodetiche sopra una certa superficie? La risposta è affermativa non appena viene individuata una connessione sopra una data superficie tale per cui i coefficienti Akij siano proprio i simboli di Christoffel della connessione. Vale comunque la pena osservare che al sistema (2) è possibile applicare la teoria standard delle equazioni differenziali ordinarie indipendentemente dal fatto che esso rappresenti o no delle geodetiche sopra una qualche superficie; potrebbe comunque avere interesse l’interpretazione del sistema (2) come geodetica per l’indagine di ulteriori proprietà geometriche delle soluzioni.
La domanda fa riferimento poi al più generale collegamento tra analisi e geometria. Certamente quanto appena illustrato offre spunti per collegare analisi e geometria ma un legame ben più profondo sta alla base della geometria differenziale: infatti, in un certo senso, la geometria differenziale altro non è che il tentativo di riscrivere l’analisi matematica per funzioni definite su spazi che non sono piatti. Schematizziamo il parallelismo tra analisi classica e geometria differenziale di base:
- [studio di Rn, della topologia di Rn ]→[ topologia differenziale, ovvero studio delle proprietà generali delle varietà differenziabili che sostituiscono la struttura piatta di Rn (in particolare, carte, atlanti, varietà differenziabili, sottovarietà, spazio tangente, metriche riemanniane)];
- [calcolo differenziale per funzioni Rn → Rm]→[calcolo differenziale assoluto, ovvero connessioni, derivazione covariante, parallelismo, curvatura];
- [calcolo integrale per funzioni Rn→R]→[integrazione delle forme differenziali su varietà differenziabili, in particolare le 0-forme sono le funzioni su varietà mentre l’integrazione delle k-forme con k>0 generalizza i teoremi classici di integrazione in Rn, come divergenza e Stokes].
Questo è solo un cenno al legame tra analisi e geometria, legame che quindi si instaura a livello di teoria di base. Va da sé che uno può proseguire sullo stesso ordine di idee trasportando i problemi dell’analisi (come ad esempio la teoria delle equazioni alle derivate parziali o il calcolo delle variazioni) all’analisi su varietà (spazi funzionali di funzioni definite e/o a valori in una varietà, equazioni alle derivate parziali su varietà, ecc..).