Iniziamo a esibire due argomenti a favore di entrambi
i valori proposti dal lettore come possibili risultati dell’espressione
00.
La definizione ricorsiva
della potenza a esponente naturale si dà ponendo, per ogni numero
reale x diverso da zero e per ogni n > 0,
xn = x 
xn-1, dove si
conviene che x0 = 1. Questa convenzione
è necessaria se si vuole che valgano le proprietà delle
potenze, in particolare quella per cui
am+n = am an:
infatti, qualsiasi siano i numeri x e n considerati, deve essere
xn = xn+0 = x0 xn
e da questo si conclude che deve essere x0 = 1.
Per coerenza con la definizione di potenza di un numero x diverso
da zero, allora, bisognerebbe porre 00 = 1.
Le stesse
proprietà delle potenze ci permettono però di capire che
non possiamo prendere questa definizione per buona. Un’altra
proprietà afferma infatti che
(a / b)n = an / bn:
ma allora l’espressione (1 / 0)0 dovrebbe essere
priva di significato da un lato (perché 1 / 0 è
priva di significato) mentre dall’altro lato dovrebbe essere pari a
10 / 00 = 1 / 1 = 1.
L’unico modo per salvare assieme questa proprietà delle potenze
e l’attribuzione di un significato all’espressione 00
sarebbe allora quella di porre 00 = 0.
Visti questi due
paragrafi, si dovrebbe iniziare a sospettare che la questione
può avere soltanto una soluzione. A suffragio di questo
sospetto va anche un’osservazione riportata dallo stesso lettore:
quando si calcolano i limiti in un punto dell’elevamento a potenza di
due funzioni infinitesime in quel punto, il risultato del limite non
è prevedibile a priori. Gli esempi proposti nella domanda sono
in effetti forse un po’ troppo semplici (perchè in entrambi una
delle due funzioni in questione è costante), ma è
possibile costruire esempi di funzioni non costanti e diverse da zero
in tutto un intorno di un punto tali che il limite dell’elevamento a
potenza sia qualsiasi numero reale voluto. Ciò, sia chiaro, non
ci autorizza affatto a dire che “00 è una forma
indeterminata”: un’operazione in quanto tale, in effetti, deve avere
uno e un solo risultato ben determinato oppure non avere significato
(si confrontino su questo tema anche le risposte:
http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=1342, e
http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=1992).
È tuttavia vero che è possibile dimostrare, tra le altre
proprietà dei limiti, che se due funzioni f e g
tendono (per x tendente a un certo punto c) ai valori
a e b diversi da zero, allora la funzione
fg tende al valore ab: anche alla
luce di questa proprietà si capisce allora che l’unica
conclusione corretta per non contraddire nessuna delle citate
proprietà è decidere che 00 sia una scrittura
priva di significato.
A ulteriore
conferma della differenza tra il risultato (o la mancanza di
significato) di un’operazione e la valenza esclusivamente mnemonica di
una locuzione come “00 è una forma indeterminata”,
vorrei osservare che anche la scrittura 0 / 0,
corrispondente a un’altra “forma indeterminata” famosa tra gli studenti
che affrontano lo studio dei limiti, è priva di significato se
viene interpretata come operazione tra numeri.
Questa
risposta mi ha incuriosito e ha provocato altri quesiti. Considerando la
funzione y = xx, con x reale e positivo,
quale risulta il limite destro della funzione per x tendente a 0?
E la stessa funzione con x reale e diverso da 0 quale limite sinistro
ha per x tendente a 0?
(risponde Gino Favero)
La funzione y = xx
è definita per ogni x reale e positivo (strettamente, per
quanto detto sopra). È allora possibile cercare di calcolarne il
limite destro per x tendente a zero: tale limite (anche questo fatto
è stato citato sopra) sarà un caso di “forma indeterminata”. Un
possibile metodo per calcolarlo è scrivere
xx = exlog(x) e
calcolare il limite dell’esponente scrivendo
xlog(x) = log(x) / (1/x). Per
la “regola di de l’Hospital”, tale limite è uguale al limite del
rapporto delle derivate, che è pari a
(1 / x) / (1 / x2) = x
e quindi tende a zero. La funzione y = xx
tende allora a e0 = 1.
La seconda parte della
domanda è invece mal posta, perché non è possibile
definire la funzione y = xx per x
negativo. Il tentativo di attribuire un esponente anche soltanto razionale a
un numero negativo è infatti incompatibile con le proprietà
delle potenze, come già osservato nella risposta http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=1992).