Il “pi greco” (talvolta chiamato “pi”, per semplicità
di riferimento) è sicuramente uno dei numeri più studiati della
storia della matematica. Dagli innumerevoli tentativi di quadratura del
cerchio (cioè, della costruzione di un segmento lungo radice di 
volte un segmento dato) alle ore e ore di
tempo-macchina impiegate per calcolarne centinaia di milioni di cifre
decimali dopo la virgola (si veda qui per
convincersi che non la sto affatto sparando grossa), sono stati effettuati
centinaia e centinaia di studi di diversi tipi e con diversi scopi. Di
conseguenza, se ne conoscono tantissime proprietà.
Una proprietà
fondamentale di è il fatto che
è un numero irrazionale: non esiste nessuna frazione il cui
risultato dia . Questo ha come immediata
conseguenza il fatto che le cifre dello sviluppo decimale di non presentano nessun periodo, perché
la formula imparata nella scuola media per convertire un numero decimale
finito o periodico in frazione dimostra che ogni numero periodico è
razionale. Il dubbio che questa proprietà possa non essere valida in
una base di numerazione diversa da 10 può essere risolto dimostrando
che una formula perfettamente analoga vale in qualsiasi sistema di
numerazione. Insomma, se anche lo sviluppo binario di sembra avere qualche schema che si ripete, tale ripetizione non
può certamente essere regolare, perchè la razionalità
(cioè, il fatto di essere pari al risultato di una divisione) non
dipende dal sistema di numerazione.
Dalla domanda della
lettrice scaturiscono però altre riflessioni. Anche se non è
possibile trovare una regolarità periodica nello sviluppo delle cifre
di , potrebbe darsi, per esempio, che in
tale sviluppo esistano certe cifre (o combinazioni di cifre) che compaiano
più frequentemente di altre? La risposta a questa domanda è
tutt’altro che banale, per cui vale la pena di fermarcisi su un po’.
Nel 1909, il matematico
Émile Borel coniò la definizione di numero normale: un numero
si dice normale in base 10 se due qualsiasi successioni di cifre della
stessa lunghezza compaiono nel suo sviluppo decimale con uguale frequenza. In
altre parole se un numero è normale, nel suo sviluppo decimale ogni
numero compare con frequenza 1 / 10, ogni coppia di numeri compare
con frequenza 1 / 100, così come ogni terna di numeri con
frequenza 1 / 1000 e così via. È immediato
convincersi che un numero normale è per forza irrazionale (in un
numero periodico, infatti, alcune successioni di cifre non compaiono proprio
per nulla, cioè hanno frequenza 0!), ma che non tutti i numeri
irrazionali sono normali (è possibile dimostrare che il numero
0,202002000200002000002… è irrazionale, ma chiaramente la
successione di cifre “3456” non compare mai nel suo sviluppo decimale). Un
numero, inoltre, si dice assolutamente normale se è normale in
tutte le basi intere.
La dimostrazione della
“normalità” di un numero è un problema ancora aperto,
cioè non si è riusciti a trovare un modo per dimostrare se un
dato numero è normale oppure no: i numeri che sono notoriamente
normali appartengono a classi molto particolari oppure sono numeri costruiti
appositamente per possedere questa proprietà. Non si sa quindi se
sia normale; in compenso, un’analisi
delle frequenze con cui si ripetono tutte le possibili combinazioni
all’interno delle cifre note dello sviluppo di si accorda molto bene all’ipotesi statistica che lo sia (per
un’analisi delle frequenze con cui compaiono le singole cifre, si veda per
esempio qui). In
realtà si suppone che (insieme con
altre costanti comuni, come per esempio la radice di due o il numero di
Nepero) sia addirittura assolutamente normale, anche se non si ha
nulla, oltre all’evidenza statistica, a supporto di questa ipotesi (maggiori
informazioni su questo problema in particolare e sui numeri normali in
generale si possono trovare in rete, cercando “normal numbers” in qualsiasi
motore di ricerca). Se questo fosse vero, comunque, si potrebbe dare
l’ultimo colpo alla speranza della lettrice: non solo non può esserci
alcuna periodicità nello sviluppo binario di , ma addirittura non esistono nemmeno combinazioni di zero e uno
che compaiono più spesso di altre nel suo sviluppo.
Va detto comunque che la
domanda è tutt’altro che sciocca. In effetti, quello di cercare una
regolarità in qualsiasi fenomeno si presenti è una tendenza
decisamente umana (che a volte può addirittura diventare
un’ossessione, come sa chi ha visto il film “A beautiful mind”!). Oltretutto,
i numeri binari composti da un dato numero di cifre sono decisamente pochi
rispetto agli analoghi decimali (si pensi, per esempio, che esistono 16
numeri binari e 10000 decimali con quattro cifre), per cui è
estremamente facile illudersi di riuscire a trovare una qualche
regolarità nello sviluppo binario di un numero.