Come si fa a dimostrare che un dato integrale indefinito di una funzione reale non è esprimibile in termini di funzioni elementari (ovvero polinomi, trigonometriche, esponenziali, le loro inverse e le loro composizioni)?

Purtroppo non è possibile qui riportare la dimostrazione di questo curioso fatto, in quanto troppo complessa. Darò alla fine della risposta il riferimento preciso.

L’idea della dimostrazione di Maxwell Rosenlicht si basa sulla definizione di funzione elementare, funzione che viene ottenuta ampliando “algebricamente” l’insieme delle funzioni che sono combinazioni di funzioni razionali circolari e  logaritmiche. Si mostra poi una condizione necessaria affinchè una funzione abbia una primitiva che sia elementare.

Facili conti dicono quindi che ad esempio e^{x^2} non ammette primitive elementari.

Purtroppo, come ripeto, scendere nel dettaglio in questa sede è proibitivo, vista la complessità dell’argomento; il riferimento della dimostrazione è

Maxwell Rosenlicht (1972). “Integration in finite terms“. American Mathematical
Monthly 79: 963-972.