Riepiloghiamo brevemente le definizioni, nel caso
generalizzato di spazio n-dimensionale, di intorno
e palla.
Definizione. La palla di centro
P = (p1, …, pn) 
n
e raggio r +
è l’insieme dei punti con distanza da
P minore di r (palla aperta) o minore o uguale di
r (palla chiusa).
Definizione. Il punto x è detto
interno all’insieme A o, equivalentemente, l’insieme A
è detto intorno di x, se esiste un r + tale che la palla
aperta di centro x e raggio r sia interamente contenuta in A.
L’insieme dei punti interni di
A è detto interno di A (int A),
mentre la frontiera di A è l’insieme dei punti tali che
ogni palla aperta centrata nei punti di frontiera contiene sia punti
appartenenti ad A sia punti non appartenenti ad esso.
Osservazione. se A è aperto, allora
A coincide con il suo interno
(A = int A.)
Con il sistema formale di definizioni esposte siamo in grado
di comprendere l’importanza degli insiemi aperti: un insieme aperto coincide
con il suo interno e, pertanto, non ha frontiera. L’uso di questa nozione in
analisi matematica è fondamentale perché consente di avere un
sistema formale in grado di eliminare i punti di frontiera dove, tipicamente,
possono “annidarsi” eventuali singolarità come asintoti o “perdite di
significato” delle espressioni algebriche o delle funzioni analitiche
coinvolte.
Esempio. È possibile dare una definizione di
limite che fa uso soltanto del concetto di intorno: si dice che il limite
della funzione f(x) per x –> c
è uguale a l se per ogni intorno B del punto l
esiste un intorno A del punto c tale che
f(x) B per ogni
x A. Date le proprietà
degli intorni esposte in precedenza, infatti, questa definizione di limite
è equivalente a quella consueta: lasciamo al lettore il compito di
verificare questa affermazione, almeno nel caso in cui
f : –> .
Supponiamo ora di non richiedere,
nella definizione di intorno A di un punto x, che esista una
palla di centro x interamente contenuta in A: potremmo per
esempio pensare di definire “intorno” di un punto x qualsiasi insieme
che contenga il punto x. Ebbene, in questo caso la definizione di
limite non potrebbe essere più data come sopra: infatti, anche
l’insieme A = {x} sarebbe un intorno del punto
x e, se continuassimo a voler definire il limite come sopra, avremmo
lim x –> c f(x) = f(c)
per ogni c appartenente al dominio di f, cosa che sappiamo non
essere vera in analisi. (Per dimostrare quest’ultima affermazione basta
pensare che gli intorni B = {l} di l e
A = {x} di x soddisfano la condizione
richiesta nella definizione di limite.
La necessità di imporre che un intorno A di
x contenga tutta una palla aperta centrata attorno a x,
insomma, serve a garantire il fatto che x abbia “abbastanza A
attorno” o, in termini più rigorosi, che x non sia un punto di
frontiera dell’insieme A.
Il lettore ha comunque ragione quando
osserva che non è assolutamente necessario supporre che un generico
intorno sia un insieme aperto. La definizione di intorno di x come
“insieme aperto contenente x” è in effetti inutilmente
restrittiva; alcuni autori preferiscono però usarla in quanto la
trovano più immediata e intuitiva della definizione vista sopra,
ovvero “insieme contenente una palla aperta contenente x“.