Dati due insiemi X e Y, una funzione
f è una legge che associa a ogni elemento di X un
ben definito elemento di Y. Questo significa che qualsiasi
elemento di x si scelga in X, la funzione f mi permette
di associare a x un “corrispondente” elemento di Y che si
indica con f(x); si dice anche che y è immagine
di x tramite f e che x è controimmagine
di y. Gli insiemi X e Y sono detti, rispettivamente,
dominio e codominio della funzione f.
L’insieme
delle immagini o a volte, più brevemente, insieme immagine
della funzione f si definisce semplicemente come il sottoinsieme
di Y formato da tutti gli elementi che sono immagine di qualche
elemento di X. In simboli:
Dalla definizione è evidente che l’insieme immagine
è un sottoinsieme del codominio. In effetti, in generale, i due
insiemi sono diversi perché la definizione di funzione garantisce
che a ogni elemento di X corrisponde un’immagine f(x),
ma non assicura che questa corrispondenza “raggiunga” tutti gli
elementi di Y. Le funzioni per cui codominio e insieme delle immagini
coincidono sono una classe particolare di funzioni, quella delle cosiddette
funzoni suriettive.
Per fare
un esempio in cui codominio e insieme immagine sono diversi, si consideri
la funzione reale di variabile reale
La funzione f così definita associa a ogni
numero reale x il suo quadrato, e quindi (dal momento che il quadrato
di un numero reale è sempre un numero reale maggiore o uguale di
zero) l’insieme delle immagini di f è costituito unicamente
da numeri reali maggiori o uguali di zero, ovvero 
. D’altra parte, dato un numero reale y maggiore o uguale di zero,
è possibile trovare una sua radice quadrata reale e si ha 
, quindi ogni numero reale maggiore o uguale di zero è immagine
tramite f di qualche numero (la sua radice) e si ha 
. Si può allora concludere che 
, cioè che l’insieme immagine di f è esattamente
l’insieme di tutti e soli i numeri reali maggiori o uguali di zero, che
è un sottoinsieme proprio del codominio di f.
La distinzione
tra insieme dei valori e codominio può a questo punto sembrare
“artificiale” in qualche modo. In effetti, rimanendo nell’esempio appena
fatto, si potrebbe obiettare che “restringendo” il codominio nella definizione
di f all’insieme dei numeri reali maggiori o uguali di zero si
otterrebbe una funzione suriettiva. In realtà questa distinzione
è importante dal punto di vista formale per varie ragioni. Una
cosa a a cui spesso non si presta la dovuta attenzione, per esempio, è
che due funzioni f e g si dicono uguali se hanno lo stesso
dominio, lo stesso codominio e assumono gli stessi valori; insomma,
per capirci, le funzioni f e g definite da
non sono uguali, perché (pur assumendo gli
stessi valori dove entrambe sono definite) hanno due domini diversi. Anche
per il codominio una distinzione del genere è importante per poter
capire quali sono i tipi di operazioni “lecite” con le funzioni in questione.
Per fare qualche esempio: la divisione non è un’operazione interna
all’insieme dei numeri naturali, e quindi non è possibile dividere
tra loro due funzioni a valori naturali; la sottrazione non è un’operazione
interna all’insieme dei numeri reali maggiori o uguali di zero e quindi
non è possibile definire la differenza 
se come codominio di 
e 
si prende l’insieme 
. Infine, ancora più importante dal punto di vista concettuale,
date due funzioni 
, 
la funzione composta 
è definita soltanto se 
.
Spesso
i concetti di codominio e insieme delle immagini sono confusi a causa
del fatto molti identificano impropriamente i concetti di “dominio” e
“insieme di definizione”: dato che la determinazione dell’insieme di definizione
di una funzione è un problema che si impara ad affrontare dai primi
anni della scuola superiore, quindi, questa confusione si propaga da allora
in avanti. Approfitto quindi dell’occasione per chiarire anche questa
differenza. Il dominio, come abbiamo già detto, dipende
da come la funzione viene definita. Nulla mi vieta, per esempio, di definire
la funzione f(x)=x+2 soltanto sull’intervallo [0, 3]:
in questo caso, il dominio della funzione f sarà, per mia
scelta, tale intervallo. L’insieme di definizione di f,
invece, è un insieme definito “implicitamente” dalla funzione presa
in considerazione ed è, se vogliamo dirla così, il più
grande insieme che può venire preso come dominio di f.
Per esempio, allora, è corretto dire che l’insieme di definizione
della funzione
è l’insieme
(non è possibile, infatti, definire la funzione
su insiemi “più grandi” di
), ma non è corretto dire che il dominio di
è l’insieme
, perché quale sia l’effettivo dominio della funzione dipende da
caso a caso.