Conservo un giocattolo da quando sono bambino: è costituito da una rotella forata che rotola (senza strisciare) all’interno di un cerchio di diametro più grande. Inserendo la penna nel foro centrale della rotella si ottiene ovviamente un cerchio, mentre inserendola in un qualsiasi altro foro si ottiene una sorta di “fiore”. Di che curva si tratta?

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La curva cercata dal lettore è effettivamente un parente stretto
della curva epicloide. Data la complessità del moto di rotazione
senza strisciamento della ruota esterna, rispetto al disco vincolato in
un punto non coincidente con il centro, possiamo semplificare il problema
senza perdere di generalità, partendo proprio dalla definizione
di curva epicicloidale per orbite circolari.

Possiamo generalizzare l’equazione parametrica di epicicloide circolare
già illustrata in http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8706
mediante l’equazione parametrica:

E(t) = R2(sin w2 t, cos w2
t) – R1(sin w1 t, cos w1 t) [1]

 

Per ottenere la forma classica di epicicloide in Figura 1 (R2=2,
R1=1, w2=1, w1=8),

Fig. 1 : epicicloide

occorre che siano verificate le condizioni

  • R2 > R1 [2]
  • w2 < w1

che derivano dal fatto che la curva epicicloide è data dall’orbita
apparente di due pianeti il cui moto giaccia in orbite circolari concentriche.
La curva epicicloide si ottiene “vedendo il secondo pianeta dal primo”,
ove l’orbita del pianeta esterno abbia raggio maggiore e velocità
angolare minore rispetto al pianeta interno.

Una versione semplificata della curva cercata dal lettore si ottiene
proprio modificando i vincoli [2], ottenendo il grafico di Figura 2.

 

 

Fig. 2 (R2=1, R1=2, w2=1,
w1=30),

 

definita applicando le condizioni

  • R2 < R1 [3]
  • w2 < w1

L’equazione tracciata in Figura 2 è caratterizzata dalle seguenti
proprietà:

  • Il raggio esterno è pari ad R1+R2.

  • Il raggio interno è pari ad R1.

  • Il numero di archi di circonferenze che compongono la campitura interna
    è pari w1-w2.