L’idea alla base della divisione tra polinomi è la
stessa che sta alla base della divisione tra numeri naturali. Nell’insieme
dei numeri naturali la divisione è caratterizzata da un teorema di
esistenza secondo il quale dati due numeri naturali a e b, esiste un’unica
coppia di numeri naturali (q, r) tale che
a = bq + r e 0 
r < b.
Nell’insieme 
[x] dei polinomi a
coefficienti reali esiste un teorema del tutto analogo:
Teorema. Dati due polinomi a coefficienti reali
a(x) e b(x) 
[x],
esiste un’unica coppia di polinomi
(q(x), r(x)) tale che
a(x) = b(x)q(x) + r(x)
e che il grado di r(x) sia minore del grado di
b(x).
Dimostrazione. Iniziamo dimostrando l’unicità
della coppia di polinomi quoziente e resto. Supponiamo che, oltre ai polinomi
q(x) e r(x), esistano altri due polinomi
q’(x), r’(x) tali che
a(x) = b(x)q’(x) + r’(x)
e che il grado di r’(x) sia minore del grado di
b(x). Possiamo allora scrivere
0 = a(x) – a(x)
= b(x)[q(x) – q’(x)]
+ r(x) – r’(x),
cioè
b(x)[q(x) – q’(x)]
= r’(x) – r(x).
Quest’ultima è un’uguaglianza tra due polinomi; in
particolare, il suo primo membro e il suo secondo membro sono polinomi aventi
lo stesso grado. Si ricordino però due fatti fondamentali:
-
il prodotto di due polinomi diversi da zero è un
polinomio che ha per grado la somma dei gradi dei due polinomi fattori; -
la somma di due polinomi qualsiasi è un polinomio
che ha grado minore o uguale del massimo tra i gradi dei due polinomi addendi.
La seconda di queste due proprietà dei polinomi
assicura che il membro destro dell’uguaglianza qui sopra ha grado minore del
grado di b(x), mentre la prima afferma che il suo membro
sinistro, se non è nullo, ha grado maggiore o uguale del grado di
b(x). Si conclude allora che il membro sinistro, e quindi anche
il membro destro, deve essere nullo, cioè che
q(x) = q’(x) e
r(x) = r’(x), come volevamo dimostrare.
La dimostrazione dell’esistenza si effettua fornendo un
algoritmo esplicito per il calcolo della divisione tra polinomi, del tutto
analogo al “metodo della caravella” di cui abbiamo parlato in una precedente
risposta. Se il grado di
b(x) è maggiore di quello di a(x), allora
il quoziente è 0 e il resto è a(x) stesso;
altrimenti l’algoritmo è il seguente:
-
si scrivono il dividendo a(x) a sinistra e
il divisore b(x) a destra, separati da una linea verticale
estesa verso il basso. Si disegna inoltre una linea orizzontale che sottolinea
il divisore; -
sia n pari alla differenza tra il grado del
polinomio a(x) e il grado del polinomio b(x); -
consideriamo il monomio di grado massimo del polinomio
che si trova in fondo alla colonna di sinistra e il monomio di grado massimo
del divisore b(x): scriviamo il monomio quoziente del primo per
il secondo sotto il divisore, completo del suo segno; -
aggiungiamo una riga alla prima colonna, scrivendo il
polinomio che si ottiene moltiplicando il divisore per l’opposto del monomio
trovato al punto 3.; -
aggiungiamo un’altra riga alla prima colonna, scrivendo
il polinomio che si ottiene sommando i polinomi scritti nelle ultime due righe
della colonna stessa; -
se n = 0 passiamo al punto 7.,
altrimenti, diminuiamo n di un’unità e torniamo al punto 3; -
il polinomio scritto sotto il divisore è il
quoziente e l’ultima riga della colonna di sinistra è il resto.
La dimostrazione della correttezza di questo algoritmo
avviene, in modo del tutto analogo a quello della caravella per la divisione
tra numeri naturali, dimostrando per induzione le seguenti due proposizioni:
-
Pk: al k-esimo passaggio per
l’istruzione 5., moltiplicando il divisore per il polinomio che si trova sotto
il divisore e aggiungendo l’ultima riga della colonna di sinistra si ottiene
il dividendo (cioè la prima riga della colonna di sinistra); -
Qk: al k-esimo passaggio per
l’istruzione 5., la differenza tra il grado dell’ultima riga della colonna di
sinistra e il grado del divisore è strettamente minore di n.
La dimostrazione è molto simile a quella vista nella
precedente risposta a
proposito della divisione tra numeri interi, per cui invitiamo il lettore
volonteroso a ricavarla autonomamente. Osserviamo che tali proposizioni
garantiscono che quando n = 0 il grado dell’ultima riga della
colonna di sinistra sia minore del grado del divisore e quindi, stante il
fatto che tale polinomio aggiunto al prodotto dei due polinomi nella colonna
di destra è sempre pari al dividendo, abbiamo ottenuto precisamente il
quoziente e il resto.
Vale anche la pena di
osservare che, così come abbiamo fatto a proposito della divisione tra
numeri, non abbiamo fornito l’algoritmo nella versione esatta in cui lo si
adopera di solito. Nel caso dei polinomi, infatti, esistono una serie di
“furbizie” che si impiegano per rendere il procedimento più ordinato e,
quindi, a minor rischio di errore: per esempio, si scrivono entrambi i
polinomi ordinati e completi, cioè scrivendone i monomi in ordine dal
grado maggiore al grado minore e scrivendo esplicitamente, per esempio,
x2 + 0x – 4 invece di
x2 – 4. Tali tecniche, anche se indubbiamente
utili come detto sopra, non cambiano la sostanza dell’algoritmo, né
sono necessarie per raggiungere il risultato cercato.