Immagino che la domanda si rivolta alla funzione (mi metto per semplicità nel caso di due variabili)
f(x,y)=|(x,y)|.
Allora in tal caso risulta f(x,y)=√(x2+y2); questa funzione, così come il classico |x|, non ammette derivate parziali nel punto (0,0), mentre è derivabile parzialmente (ed anche differenziabile) in ogni punto diverso da (0,0).
Per controllare la non esistenza delle derivate parziali in (0,0) basta costruire i rapporti incrementali relativi. Per il calcolo della derivata parziale di f rispetto ad x in (0,0) quello che va considerato è il rapporto incrementale
[f(h,0)-f(0,0)]/h
che risulta essere |h|/h. Ne segue che tale rapporto vale 1 se h>0, -1 se h<0. Dunque non ammette limite per h->0.
In modo analogo si vede che anche la derivata parziale rispetto ad y in (0,0) non esiste (il grafico di f è un cono in R3 con vertice in (0,0)).
In modo analogo si vede che anche la derivata parziale rispetto ad y in (0,0) non esiste (il grafico di f è un cono in R3 con vertice in (0,0)).
Altrove la funzione f è differenziabile per composizione di funzioni differenziabili; per calcolare le derivate parziali basterà quindi derivare rispetto a ciascuna variabile, supponendo l’altra fissata e costante. Si avrà quindi, in (x,y) ≠(0,0):
∂f/∂x=2x/2√(x2+y2)=x/√(x2+y2) e ∂f/∂y=2y/2√(x2+y2)=y/√(x2+y2).