Occorre anzitutto precisare la nozione di punto di accumulazione e punto isolato in R; per questo è sufficiente
dare la definizione di intorno di un punto x reale.
Diciamo che U sottoinsieme di R è intorno di x se esiste c>0 con (x-c,x+c) contenuto in U: stiamo dunque chiedendo che gli intorni di x siano o intervalli centrati in x o, più in generale, insiemi che
contengano almeno un intervallo centrato in x.
La definizione di intorno si estende anche nell’insieme Reche viene definito come R a cui si uniscono due elementi, che sono +infinito e -infinito, che indicheremo nel seguito con +inf e -inf.
Diremo che U è intorno di +inf se U contiene un intervallo della forma (M,+inf] per un certo
M reale, diremo invece che U è intorno di -inf se U contiene un intervallo della forma [-inf,N) per un certo N reale. La nozione di intorno vuole, in un qualche modo, rappresentare i punti “vicini” ad un punto assegnato.
Sia ora X generico sottoinsieme di Re, e sia x un suo elemento; diciamo che x è di accumulazione per
X se ogni intorno U di x interseca l’insieme X-{x}. Questo significa che in X vi sono punti vicini quanto vogliamo ad
x, diversi da x stesso. Ad esempio, sia X=(a,b); allora x=a è punto di accumulazione per X. Infatti se U è intorno
di a, allora U contiene un intervallo della forma (a-c,a+c) per un certo c>0, e (a-c,a+c) ha intersezione non vuota con (a,b)-{a}=(a,b).
Osserviamo che nella definizione di punto di accumulazione non si richiede che x appartenga ad X.
Diremo invece che x elemento di X è isolato per X se esiste un intorno U di x tale che l’intersezione tra U e X è solamente il singoletto {x}. Ad esempio, sia X=[0,1] u {2}; allora x=2 è punto isolato per X. Infatti sia U=(2-1/2,2+1/2);
allora U è intorno di x=2 ma l’intersezione tra U e X è ridotta all’insieme {2}.
Veniamo finalmente all’applicazione di nostro interesse; sia X=N, insieme dei numeri naturali. Allora ogni numero naturale n è punto isolato per N; infatti sia U=(n-1/2,n+1/2); allora U è intorno di x=n ma U ha solamente {n} come intersezione con N. Inoltre +inf è punto di accumulazione per N, infatti se U è intorno di +inf, allora intanto possiamo supporre U=(M,+inf] per un certo M reale; sia ora n>M, con n naturale. Allora n sta in U, che dimostra che l’intersezione tra U ed N non è vuota. (A rigore sarebbe da controllare che l’intersezione tra U e N-{+inf} non è vuota, ma +inf per definizione non appartiene ad N). Naturalmente -inf non è punto di accumulazione per N, dal momento che, per esempio, l’intorno di -inf dato da [-inf,-1) non ha intersezione con N.