Il settimo problema di Hilbert riguarda lo studio dell’irrazionalità e della trascendenza di determinati numeri interi. La storia ha inizio con il 1873, anno nel quale C.Hermite dimostrò la trascendenza di e, e nel 1882, anno della dimostrazione della trascendenza di π, per opera di Lindemann.
Ricordiamo che un numero reale è trascendente se non è algebrico, ovvero se non è soluzione di nessuna equazione algebrica a coefficienti interi.
Hilbert pose il problema di determinare, per esempio, la trascendenza di 2^√2; il problema fu risolto nel 1934 da Gelfond e Schneider (indipendetemente l’uno dall’altro) appoggiandosi ad un Teorema di Gelfond del 1929. I risultati di Gelfond sono più generali del caso particolare posto da Hilbert, ma sono troppo specifici e coinvolgono nozioni difficili di Teoria dei numeri.
Quanto alla densità, si dimostra agevolmente che i numeri algebrici sono in quantità numerabile (infatti sono associati ad equazioni a coefficienti interi, e basta usare la numerabilità di Z). Poichè invece Cantor ha dimostrato che l’insieme R non è numerabile ma ha la potenza del continuo come cardinalità, ne segue che ciò che ai reali dà la potenza del continuo è il complementare dei numeri algebrici, ovvero i numeri trascendenti. Tra le righe uno potrebbe anche dire che dai naturali agli algebrici uno non aggiunge praticamente “niente”; il vero salto di cardinalità si fa aggiungendo i trascendenti.