26.12.1999

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Sono uno studente al terzo anno del liceo scientifico Bramante. Desidererei chiedere chiarimenti sul "Metodo dei minimi quadrati" e sull'equazione risolutiva associata a nome di tutta la mia classe.

(risponde Carlo Consoli)

Il metodo dei minimi quadrati si applica nella branca delle scienze economiche detta “econometria” per valutare la tendenza dei dati nel tempo.

Si supponga di avere un’azienda che abbia fatturato 9, 11.2, 9.8, 11.8, e 14 miliardi negli ultimi 5 anni; col metodo dei minimi quadrati è possibile prevedere la tendenza della fatturazione per gli anni successivi.

Il risultato di un’applicazione del metodo è visibile in figura 1,

Fig.1 Analisi di tendenza con metodo dei mimini quadrati e curva lineare

ove in ascissa sono riportati gli anni, in ordinata il fatturato in miliardi di lire.

Il grafico in blu indica i punti associati ai dati di fatturazione, la linea in rosso è la curva  di regressione lineare, risultato dell’applicazione del metodo dei minimi quadrati.

Il metodo dei minimi quadrati consente di approssimare mediante una serie di funzioni una serie di dati con errore quadratico minimo; quando la serie di funzioni utilizzata impiega polinomi di grado non superiore al primo si afferma che la curva di regressione è lineare. Nell’articolo presente si affronterà il metodo di costruzione della curva di regressione avente come base dello spazio di funzioni l’insieme {1, x}, tuttavia il metodo dei minimi quadrati consente di costruire una curva di regressione per combinazione lineare di uno spazio di funzioni qualsiasi (l’autore è a disposizione per ulteriori informazioni in merito).

E’ possibile prevedere la tendenza del fatturato per l’anno successivo valutando il proseguimento della retta di regressione. Nel caso specifico, è possibile attendersi il superamento della quota di fatturato 15 miliardi per l’anno duemila.

Come è noto, per due punti passa una ed una sola retta. Aggiungendo dei punti successivi, a meno di una coincidenza assolutamente fortuita (e, tutto sommato, di scarso interesse), non sarebbe più possibile determinare la retta che passa per tutti i punti ma quella che ad essi “si avvicina il più possibile”.

In termini più formali, avendo a disposizione la serie di n punti

vogliamo determinare la retta y=mx+q tale che la somma degli scarti quadratici dai punti della serie sia minima.

Lo scarto quadratico è definito pari a (y_i-y(x_i))², ovvero la differenza tra il valore reale della serie e quello stimato dalla retta di regressione.

Il residuo è definito come la somma degli scarti quadratici medi:

    [1]

ed y(x_i) = mx_i+q  è  il valore stimato dalla retta di regressione lineare nel punto x_i.

Applicando alcuni risultati noti dell’analisi matematica, si ottiene che la retta per cui il residuo è minimo è data dal minimo locale della equazione di residuo [1] rispetto alle due variabili m e q.

La tecnica di ricerca di un minimo locale implica la risoluzione del sistema di equazioni ottenuto uguagliando a zero le derivate parziali della [1]:

                    [2]

Essendo le tecniche di risoluzione della [2] ed il calcolo del minimo della [1] materia da quinta superiore e da corso di Analisi II all’Università, riportiamo qui direttamente la souzione della [2]; un sistema lineare di due equazioni e due incognite, nelle variabili m e q:

       [3]

si osservi che le uniche variabili sono m e q, mentre tutti gli altri termini sono numeri calcolabili dai dati in ingresso, ovvero:

n: numero dei dati in ingresso (nel nostro caso 5)

: somma delle ascisse dei punti noti (1995+1996+1997+1998+1999)
: somma dei quadrati delle ascisse dei punti noti (1995²+1996²+1997²+1998²+1999²)

:somma delle ordinate dei punti noti (9+11.2+9.8 +11.8+14)
:somma dei prodotti delle ascisse per le ordinate dei punti noti (1995x9+1996x11.2+1997x9.8+1998x11.8+1999x14)

La soluzione del sistema di equazioni [3] è, quindi:

             [4]

Sostituendo alla [4] i valori del caso in esame siamo in grado di scrivere la retta di regressione

y = mx+q

e valutare la proiezione di tendenza del fatturato per l’anno 2000 con

y(2000) = 2000m+q                           [5]

il calcolo esplicito della [4] e della [5] è lasciato per esercizio ai lettori.

Dall’autore, un cordiale augurio di Buon Millennio.